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Calcul de $\left(\frac{-3}{p}\right)$

Il s'agit de calculer $\mu$ pour m=-3, i.e. le nombres de résidus minimaux de $\{-3, -6, \dots, -3 \frac{p-1}{2}\}$strictement négatifs. On est donc ramené à compter les entiers k tels que : p/2 <-3k<p. Ainsi, les valeurs de k pour lesquelles les résidus minimaux sont strictement négatifs sont : $1,2,\dots,E(p/6)$ et $E(p/3)+1, E(p/3)+2, \dots, E(p/2)$ donc $\mu = E(p/6)+E(p/2)-E(p/3)$.D'où si p=6n+1 alors $\mu = n +3n -2n$ est pair et si p=6n+5 alors $\mu = n +(3n+2) -(2n+1)$ est impair.

En résumé : -3 est un carré modulo $p\geq 5 \Longleftrightarrow p=6n+1$.



Cyril Banderier
7/23/1997