Résumé : Associé à un groupe de Weyl, il y a deux ensembles d’objets combinatoires, comptés par les nombres de Catalan généralisés, qui s’appellent les partitions non-croisées et les partitions non-imbriquées. Ces objets ont des liens très intéressants avec la théorie des représentations d’algèbres : pour ne citer qu’un résultat, par exemple, les partitions non-croisées sont en bijection avec les sous-catégories "wide" de la catégorie des modules sur des algèbres héréditaires de type finie. La question d’une relation exacte entre ces deux objets n’admet que des réponses partielles. Récemment, nous avons mis en lumière des liens supplémentaires, renforçant certains liens déjà connus, dans le cas du groupe symétrique : pour tout élément de Coxeter standard, nous construisons une bijection équivariante entre les partitions non-croisées sous l’action du complément de Kreweras et les partitions non imbriquées sous une action cyclique particulière, que nous appelons le complément de Kroweras. Cette bijection équivariante, construites à partir de règles locales, est l’unique bijection qui est à la fois équivariante et qui préserve le support. Dans cet exposé, je vais tenter de faire le tour de tous les ingrédients nécessaires, en exposant des aspects davantage tirés vers la théorie des représentations, afin d’aboutir à la construction de cette bijection. Ces travaux sont en collaboration avec Gabriel Frieden, Alessandro Iraci, Florian Schreier-Aigner, Hugh Thomas et Nathan Williams.

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Dernière modification : Monday 27 May 2024

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