On en déduit le critère d'Euler : x est carré non nul si et seulement si
x(p-1)/2=1.
En résumé, avec le symbole de Legendre :
.
Il est intéressant de citer le critère d'Euler généralisé
aux résidus n-ièmes :
en posant q=pgcd(n, p-1), est résoluble si et seulement
si
et il y a alors q racines modulo p.
On a donc, au total, 1+(p-1)/q résidus n-ièmes et (q-1)(p-1)/q non
résidus dans
.
Vinogradov a par ailleurs montré que le nombre R de résidus quadratiques
compris entre 1 et est
où
et a formulé l'hypothèse que la distance entre deux non résidus est
, Linnik a d'ailleurs montré que
c'était ``presque toujours'' le cas.
En outre, le plus petit non résidu quadratique est
.