Calcul de $\left(\frac{2}{p}\right)$

Nous allons montrer que $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{E(\frac{p+1}{4})}=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ où E(x) désigne la partie entière de x, i.e. le plus petit entier $\leq x$.

Il s'agit de calculer $\mu$ pour m=2, i.e. le nombres de résidus minimaux de $\{2, 4, \dots, p-1\}$ strictement négatifs.
On est donc ramené à compter les entiers k tels que : p/2 < 2k<p.
On vérifie aisément que si $p\equiv 1\ [4], \lambda = \frac{p-1}{4}$ et $\mu= \frac{p-1}{2}-\frac{p-1}{4}=\frac{p-1}{4}$.
Si $p\equiv 3\ [4], \lambda= E(\frac{p-1}{4})=\frac{p-3}{4}$ et $\mu = \frac{p-1}{2}-\frac{p-3}{4}=\frac{p+1}{4}$.
Ainsi, dans tous les cas : $\mu = E(\frac{p+1}{4})$. Notons $r=2 \frac{p-1}{4}\frac{p+1}{4}=\frac{p^2-1}{8}$. Ainsi $r\in {\mathbb N}$ et si $p \equiv 1\ [4]$ (resp. $p \equiv 3\ [4]$), r a la même parité que $\frac{p-1}{4}$ (resp. $\frac{p+1}{4}$). Donc, dans tous les cas, r a même parité que $\mu$ et : $\left(\frac{2}{p}\right) =(-1)^r=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$.

En résumé : 2 est un carré modulo $p \Longleftrightarrow p=8n \pm 1$.