Loi de réciprocité octale et plus si affinité

Je n'ai pas osé le néologisme ``octique'' mais je pense que tout un chacun aura deviné ce dont nous allons parler.

En 1976, K.S. Williams et P.Y. Wu ont fourni, indépendamment, le résultat suivant : soit $p=a^2+b^2=c^2+2d^2 \equiv 1 \ [8]$ et q=A²+B²=C²+2D² avec $a\equiv c\equiv A\equiv C\equiv 1\ [4]$ et $\left(\frac{p}{q}\right)_4=\left(\frac{q}{p}\right)_4=1$, alors

$$\left(\frac{p}{q}\right)_8 \ \left(\frac{q}{p}\right)_8=\left(\frac{aB-bA}{q}\right)_4 \left(\frac{cD-dC}{q}\right)_4.$$

De plus, $\left(\frac{2}{p}\right)_8=1 \Longleftrightarrow p=a^2+256b^2\equiv 1 \ [16] \textrm{\ \ ou \ bien \ \ } p=a^2+64b^2 \equiv 9 \ [16]$ avec b impair.

Dans cette course aux lois de réciprocité, nous aurons besoin de la généralisation suivante du lemme de Gauss :

$$(-1)^{\mu_p(\lambda)}=\left(\frac{\lambda}{p}\right)_{2k}$$

où $\mu_p(\lambda)$ désigne le nombre d'éléments modulo p, qui une fois multipliés par $\lambda$ sont négatifs (voir §).

On obtient alors directement :

$$\left(\frac{p}{q}\right)_{2k} \ \left(\frac{q}{p}\right)_{2k... ...si \ } \left(\frac{p}{q}\right)_k=\left(\frac{q}{p}\right)_k=1.$$

Bien qu'elles existent, nous ne donnerons pas ici de lois de réciprocité ``rationnelles'' pour les entiers impairs 3 et 5, cela nous embarquerait dans la représentation de nombres premiers par des formes quadratiques tarabiscotées [Faisant]. Nous nous contenterons de signaler que cela permet incidemment de prouver la primalité d'un nombre en montrant l'unicité d'une telle représentation.