Résumé : Dans le cadre de notre projet ANR AnoDyn (Dynamique des flots d'Anosov), Vincent Delecroix, Pierre Dehornoy et moi organisons les 28, 29 et 30 avril, au LAGA, une rencontre groupe autour des homéomorphismes pseudo-Anosov.
Un peu plus précisément, notre volonté est de présenter différentes approches combinatoires des homéomorphismes pseudo-Anosov (et certains de leurs « cousins ») permettant de résoudre de manière algorithmique, certaines questions concernant ces homéomorphismes : énumération, calcul de certains invariants, problème de conjugaison, etc. Nous prévoyons :
Les exposés seront vraisemblablement relativement informels (le but étant d'apprendre et comprendre des mathématiques pour partie un peu anciennes) et l'ambiance celle d'un groupe de travail.
La rencontre aura lieu au LAGA à Villetaneuse. Elle débutera le 28 à 13h30 ou 14h, et se terminera le mercredi 30 à 16h environ. Il y aura a priori une douzaine d'exposés d'une heure (3 le lundi après-midi, 5 le mardi et 4 le mercredi). Pour des raisons d'organisation, si vous souhaitez participer à cette rencontre, je vous remercie de me le signaler (beguin@math.univ-paris13.fr).
La classification de Nielsen-Thruston. Jérôme Los (1 exposé)
Le problème de la compactification de l'’espace de Teichmüller. La compactification par le feuilletages mesurés projectivisiés.
Notion d’homéomorphisme périodique,
Énoncé du théorème de classification de Nielsen-Thurston.
Lien entre les automorphismes extérieurs du groupe fondamental et les classes d’isotopies.
Décrire et classer homéomorphismes les pseudo-Anosov à l'aide de réseaux férroviaires - Jérôme Los (1 exposé)
Notions de réseau ferroviaire.
La notion de réseaux ferroviaires donnent des « cartes » pour l'espace des feuilletages singuliers mesurés projectivisés
Construction de réseaux ferroviaires associé à un pseudo-Anosov.
Aspects algorithmiques.
Construction et énumération d'homéomorphismes pseudo-Anosov via les échanges d’intervalles et l’induction de Rauzy. Pierre Dehornoy (1 exposé)
Echanges d’intervalles.
Famille des rectangles et de fermeture éclairs associée à un échange d’intervalle.
Le graphe de Rauzy des échanges d'intervalles, les chemins primitifs dans ce graphe.
Homéomorphisme pseudo-Anosov associés à un chemin primitif (théorème de Veech).
Inductions : au-delà des échanges d'intervalles. **Vincent Delecroix (2 exposés)
Les échanges d’intervalles et de l’induction de Rauzy ne permettent de décrire que les homéomorphismes pseudo-Anosov qui ont une séparatrice fixe. Le but des deux exposés sera en gros d’expliquer comment aller au-delà, et d’expliquer en quoi réseaux ferroviaires et triangulations en hélices généralisent les échanges d’intervalles.
Des échanges d’intervalles aux train-tracks, aux triangulations en hélices.
Feuilletage orientables et non-orientables. Caractéristique d’Euler et singularités.
Généralisation du graphe de Rauzy.
Borne inférieur sur la dilations des homéomorphismes pseudo-Anosov.
Encodage des classes de conjugaisons d’homéomorphismes pseudo-Anosov.
Difféomorphismes de Smale des surfaces et types géométriques de partitions de Markov. Christian Bonatti (3 exposés)
1 - Caractérisation de la dynamique d’un difféomorphisme de Smale par le type géométrique d’une partition de Markov
Notion de difféomorphisme de Smale. L'ensembles selle saturé maximal, ses laminations stable et instable.
Notion de domaine. La dynamique locale sur n’importe quel petit voisinage d’un ensemble selle saturé caractérise la dynamique semi-globale sur le domaine.
Notion de type géométrique d’une partition de Markov. Le type géométrique d’une partition de Markov d’un ensemble selle saturé caractérise la dynamique locale.
2 - Genre d’un type géométrique, types géométriques non-réalisables, types géométriques sans impasses. Liens entre difféomorphismes de Smale et homéomorphismes pseudo-Anosov.
Réalisations formelles d’un type géométrique. Notion de genre d’un type géométrique. Un type est réalisable si et seulement si son genre est fini. Les trois obstructions à être de genre fini.
Tout homéomoprhisme pseudo-Anosov peut-être (canoniquement) transformé en un difféomorphisme de Smale
Notion d’impasse. Un difféomorphisme de Smale sans impasse est canoniquement semi-conjugué à un homéomorphisme pseudo-Anosov. L’existence d’impasse se lit sur le type géométrique d’une partition de Markov.
3 - Points de première intersection, et partitions de Markov canoniques
Notion de point de première (et de nième) intersection.
Le dessin des variétés stables et instable caractérise la dynamique à itération près.
Construction d’un ensemble fini d’orbites de partitions de Markov canoniques à l’aide des points de première intersection.
Borne sur le temps de construction des types géométriques des partitions canoniques à partir du type géométrique d’une partition quelconque.
L'utilisation de la géométrie du graphe des courbes pour étudier les pseudo-Anosov, d’après Masur-Minsky, Bell, Webb,… François Béguin et Thomas de Mytteneare (4 exposés)
1 - Les triangulations comme coordonnées pour les courbes et les homéotopies
Toute triangulation fournit un système de coordonnées pour les multi-courbes et multi-arcs, par suite pour les homéotopies.
Notion de flip, graphe de triangulations, connexité de ce graphe.
Une (multi-)courbe simple, ce n’est jamais très compliqué !
2 - Arcs géodésiques dans le graphe des courbes
Le graphe des courbes : géométrie globale (hyperbolicité au sens de Gromov) et locale (non-finitude locale).
Construction d’un multi-arc géodésique tendu joignant deux courbes données.
Existence d’un ensemble quasi-convexe « pas trop gros » contenant deux courbes données. Epaississement de cet ensemble.
3 - Axe et longueur de translation d’un pseudo-Anosov dans le graphe des courbes
Finitude de l’intersection de l’ensemble des arcs multi-géodésiques tendues entre deux boules avec une troisième boule.
Existence, pour f pseudo-Anosov, d’un multi-géodésique tendu fixée par par une puissance de f.
Calcul de la distance de translation et d’un domaine fondamental d’un axe tendu.
4 - Problème de conjugaison pour les pseudo-Anosov
Minoration uniforme de la longueur de distance de translation des pseudo-Anosov sur une surface donnée.
Construction d’un petit nombre de triangulations canoniquement associées à un pseudo-Anosov et une courbe essentielle.
Application à la résolution du problème de conjugaison en temps polynomial pour les pseudo-Anosov (par Belle et Webb)
| Dernière modification : Friday 09 May 2025 |
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