Un petit théorème de progression arithmétique

Soit $n \geq 3$. Soit p un nombre premier divisant n !²+1. Nécessairement p>n. De plus, en passant modulo p, on a $n !^2+1 \ [p] = 0 \ [p]$ d'où $n !^2 \equiv -1\ [p]$, i.e. -1 est le carré de n !. Donc $p \equiv 1\ [4]$ d'après le théorème sur $\left(\frac{-1}{p}\right)$. Avec le même raisonnement appliqué à p !²+1, on obtient un autre nombre premier $\equiv 1\ [4]$.Ainsi, de proche en proche, on construit une suite infinie : il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 mod 4. Ce qui montre, incidemment, qu'il existe une infinité de nombres premiers (voir §de notre exorde).

On peut également montrer, avec des notions élémentaires d'arithmétique, qu'il y a une infinité de nombres premiers du type 4k+3, 6k+5, 8k+5. Mais ce résultat a la généralisation suivante : pour a et b étrangers, la suite an+b contient une infinité de nombres premiers. C'est le célèbre théorème de la progression arithmétique démontré en 1837 par Dirichlet dont on pourra trouver une démonstration dans [Serre 1] ou dans [Dieudonné]. Aucune d'entre elle n'est vraiment élémentaire ; elles sont toutes analytiques et elles marquent d'ailleurs le début de la théorie analytique des nombres. C'est tout le génie de Dirichlet d'avoir su repérer la fécondité d'un mariage entre l'analyse et l'arithmétique, hyménée que des mathématiciens comme Riemann, Tchebychev et Hardy entretiendront par la suite. En fait, en partant de l'identité d'Euler, il a introduit les séries de Dirichlet [Ogg] et la notion de caractère d'un groupe abélien fini ${\mathbb G}$ pour en arriver à ce que l'on nomme aujourd'hui le théorème de Dirichlet.