Retour à notre seconde preuve de la loi de réciprocité

La somme de Gauss $\tau \in \Omega_p$ est une racine carrée de $\left(\frac{-1}{q}\right) q$ ; il s'ensuit que $\left(\frac{-1}{q}\right) q$ est un carré dans ${\mathbb F}_p$ si et seulement si $\tau \in {\mathbb F}_p$. Rappelons à cette occasion qu'un élément $\theta \in \Omega_p$ appartient à ${\mathbb F}_p$ si et seulement si $\theta^p=\theta$ : en effet, le polynôme X^p-X a au plus p racines dans le corps $\Omega_p$ et tous les éléments de ${\mathbb F}_p$ sont racines. Le calcul de $\tau^p$ est facilité par le fait que nous sommes en caractéristique p :

$$\tau^p=\sum_{x \in {\mathbb F}_q^*} \left(\frac{x}{q}\right)... ...t(\frac{y}{q}\right) \omega^{y}= \left(\frac{p}{q}\right) \tau.$$

On en déduit que $\:s{-1}{q} q$ est un carré dans ${\mathbb F}_p$ si et seulement si p est un carré modulo q. Il vient donc :

$$\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{\left(\frac{-1}{q}\righ... ...ht)=\left(\frac{q}{p}\right) (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$$

QED.