Lois de réciprocité d'ordre supérieur

La loi de réciprocité de Gauss a été généralisée à des congruences du type $x^n \equiv a \ [p]$ (n>2) ; on parle de réciprocité cubique pour n=3, de réciprocité biquadratique ou quartique pour n=4, de réciprocité quintique pour n=5...Ceci impose une transition de l'arithmétique sur ${\mathbb Q}$ vers une arithmétique sur une extension finie ${\mathbb K}$ de ${\mathbb Q}$. Une telle extension de ${\mathbb Q}$ ou d'un corps fini ${\mathbb F}_p(X)$ est nommée un corps global, par opposition aux corps locaux [Serre 2] qui sont les complétés d'un corps de nombres algébriques, pour sa valeur absolue : c'est-à-dire soit ${\mathbb R}$, soit ${\mathbb C}$, soit les corps de nombres p-adiques (théorème d'Ostrowski). Un corps de nombres (algébriques) est une extension finie de ${\mathbb Q}$ contenue dans ${\mathbb C}$.

Dans la généralisation aux résidus énièmes, l'extension doit contenir $\zeta$, une racine énième primitive de l'unité (i.e. $\zeta^n=1$ et $\zeta^k \not = 1 \ \forall k<n$). Nous désignerons, conventionnellement voire traditionnellement, un idéal premier par la lettre ${\mathfrak P}$ (ou $\mathfrak p$), P majuscule (ou minuscule) en alphabet gothique, en honneur à l'école algébrique allemande : en effet Kummer a introduit ses 'nombres idéaux' en 1844 [Dahan], puis Dedekind a développé la théorie des idéaux premiers. Dedekind, dans le Supplément aux `` Vorselungen über Zahlentheorie '' de Dirichlet, 1871, a introduit explicitement les notions de corps, d'anneau, de module et d'idéal.

Les idéaux premiers ${\mathfrak P}$ de ${\mathbb K}$ qui ne divisent pas n vérifient $N_{\mathfrak P}\equiv 1 \ [n]$ où $N_{\mathfrak P}$ est la norme de l'idéal ${\mathfrak P}$, égale au nombre de classes du plus grand ordre du corps modulo ${\mathfrak P}$, dit plus simplement, $N_{\mathfrak P}$ est le cardinal de ${\mathbb A}/{\mathfrak P}$ lorsque ${\mathfrak P}$ est un idéal de l'anneau ${\mathbb A}$ des entiers du corps ${\mathbb K}$. L'analogue du symbole de Legendre est défini par $\left(\frac{a}{{\mathfrak P}}\right)_n \equiv \zeta^k \equiv a^{(N_{\mathfrak P}-1)/n}\ [{\mathfrak P}]$. Tout comme pour le symbole de Jacobi, si $(b)=\prod_i{\mathfrak P}^{m_i}_i$ est la décomposition de l'idéal principal (b) en idéaux premiers, et si a et b sont des entiers algébriques étrangers, alors : $\left(\frac{a}{b}\right)_n =\prod_i \left(\frac{a}{{\mathfrak P}_i}\right)_n^{m_i}$.Si, avec ce symbole de résidu n-ième, on a $\left(\frac{a}{{\mathfrak P}}\right)=1$, alors il existe un entier algébrique $b \in {\mathbb A}$ tel que $b^2\equiv a \ [{\mathfrak P}]$.

La loi de réciprocité pour n=4 dans le corps ${\mathbb Q}(i)={\mathbb Q}(e^{2i\pi/4})$ a été établie par Gauss. Pour n=3 dans le corps ${\mathbb Q}(e^{2i \pi/3})$, elle a été établie par Eisenstein : Beweis des Reziprozitätgesetze für cübischen Reste, J. Math., 1844, utilisant la formule

$$\sum\sp {m-1}\sb {k=1}\sin \frac{2k\alpha \pi}m\cot \frac{k\pi}m=m-2\alpha$$

(valable pour $1\leq a<m$). Kummer dans Allgemeine Reziprozitätgesezte beliebig hohe Potentzreste, Ber. K. Akad. Wiss., 1850, a établi la loi générale de réciprocité pour le symbole des résidus de degré p dans le corps ${\mathbb Q}(e^{2i \pi/p})$, pour p premier. Dans le chapitre sur les nombres premiers réguliers p (voir §), on donnera une loi de réciprocité dans ${\mathbb Q}(e^{2i \pi/p})$.