UN MONOIDE DE TABLEAUX PROVENANT DE LA PHYSIQUE

QUANTIQUE.

Gérard H. E. Duchamp^{∗} , Arthur Randrianarivony^{†}, Vlady Ravelomanana^{‡}

14-07-2008 17:35

Résumé

This paper presents the construction ....

∗ LIPN UMR CNRS 7030 Université de Paris XIII, F-93430, France – e-mail:

ghed@lipn.univ-paris13.fr

† ?? ‡ LIPN (IBP, CNRS), UMR CNRS 7030 Université de Paris XIII, F-93430, France – e-mail:

vlad@lipn.univ-paris13.fr

Table des matières

1 Introduction 3 2 Un monoïde associé au développement de la formule du produit 3

2.1 Diagrammes et diagrammes étiquetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Déformation d’une algèbre libre sur un alphabet-semigroupe 3

1 Introduction

Le monoïde présnté ici et les statistiques que l’on y définit ont pour origine la Physique Quantique. En 1999, Bender, Brody et Meister [3] ont introduit une “Théorie Quantique des Partitions” (d’ensembles) basée sur une formule du produit

F (x\frac{d}{dy})G(y)|_{y=0}  (1)

qui conduit à coupler deux fonctions génératrices exponentielles par un produit de Hadamard adapté. Le développement de ce couplage conduit à exhiber diagrammes qui ne sont autres que des multigraphes bi-colorés sans point isolé. Ces diagrammes sont directement issus de la “formule du produit” [33, 3] et les statistiques viennent déformation à plusieurs paramètres [21] d’une algèbre de Hopf construite sur ces diagrammes. L’article est organisé comme suit. Dans un premier paragraphe (section 2), on explique comment ces diagrammes interviennent dans le développement de (1) et la déformation à 2 paramètres du produit qui donnera les statistiques (croisement et superposition). Le deuxième et troisième paragraphe (sections 3 et 4) sont consacrés respectivement à la construction du monoïde associateur des diagrammes et au développement des statistiques qui produisent les coefficients. En conclusion nous donnons quelques indications sur la structure algébrique du monoïde et des perspectives qui nous semlblent prometteuses.

2 Un monoïde associé au développement de la formule du produit

2.1 Diagrammes et diagrammes étiquetés

La formule (1) permet d’effectuer le produit de Hadamard exponentiel (que nous noterons H(−,−) dans la suite), en effet si F = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{z^{n}}{n!} et G = ∑_{n≥0} b_{n} \frac{z^{n}}{n!} , on a

H(F,G) := ∑_{n≥0} a_{n}b_{n} \frac{z^{n}}{n!} .  (2)

3 Déformation d’une algèbre libre sur un alphabetsemigroupe

Soit S, un semigroupe, on définit, sur k⟨S⟩ une loi ↑ par w ↑ 1 = 1 ↑ w = w et

a.u ↑ b.v = a.(u ↑ b.v) + q_{c}^{|u||b|}q_{s}^{|a||b|}(ab).(u ↑ v) + q_{c}^{|au||b|}b.(au ↑ v)  (3)

on va montrer que cette loi est déterminée par

– un monoïde d’actions (permutations compositions) sur les mots qui joue un rôle similaire à celui du groupe symétrique pour le shuffle et le q-shuffle

– une statistique sur les mots, indexée à des éléments de ce monoïde, qui fournit un associateur

... partie d'Arthur

Soit [a] un tableau à |a| = n places, on lui associe la suite des entrées trouvées par lecture de bas en haut puis de gauche à droite, ceci fournit une fonction de lecture λ_{[a]} : [1..n] ↦ alph([a]). Pour I,J deux intervalles de ℕ^{∗}, I précédent strictement J (sup(I) < inf(J)), on définit la classe de tableaux ish(I,J) comme les tableaux tels que

a) les colonnes sont de hauteur au plus 2 et croissantes

b) les restrictions de la fonction de lecture

λ_{[a]}^{−1}(I) ↦ I ; λ_{[a]}^{−1}(J) ↦ J  (4)

sont croissantes

Remarque 3.1 Si I = [r..s] (resp. J = [r..s]) et que J = ∅ (resp. I = ∅), ish(I,J) est constitué du seul tableau [r..s].

On considère maintenant que le semigroupe S est gradué sur ℕ^{∗} par une application π : S ↦ ℕ^{∗} (on peut, dans une première lecture, considérer que S = A^{+} et que π est donnée par une fonction de poids sur les lettres).

Théorème 3.2 On définit alors la statistique Q([a],w) sur les mots w tels que |w| ≥ sup(alph([a])) par

Q([a],w) = Π_{c∈[a] ; c=[r^{s}]} q_{s}^{π(w[r])×π(w[s])} Π_{j<i ; λ_{[a]}(j)∈J ; λ_{[a]}(i)∈I} q_{c}^{π(w[λ_{[a]}(i)])×π(w[λ_{[a]}(j)])} (5)

alors, pour w_{1}, w_{2} ∈ S, |w_{1}| = p ; |w_{2}| = q, on a

w_{1} ↑ w_{2} = ∑_{[a]∈ish([1..p],[p+1..p+q])} Q([a],w_{1}w_{2}) [a].w_{1}w_{2}  (6)

Preuve — Soit ⊤ la loi définie par le membre de droite. Pour montrer l’égalité, il suffit de démontrer que ⊤ vérifie la récursion qui définit ↑ ce qui se fait par inspection de la statistique Q. □

Références

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