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\title{\LARGE\bf UN MONOIDE DE TABLEAUX PROVENANT DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE.}

\author{G\'erard H. E. {\sc Duchamp}\thanks{\ LIPN UMR CNRS 7030 Universit\'e de Paris XIII,
F-93430, France
-- e-mail: {\tt ghed@lipn.univ-paris13.fr}} ,
%
Arthur {\sc Randrianarivony}\thanks{\ ??}, \\
%
Vlady {\sc Ravelomanana}\thanks{\ LIPN (IBP, CNRS), UMR CNRS 7030 Universit\'e de Paris XIII,
F-93430, France
-- e-mail: {\tt vlad@lipn.univ-paris13.fr}}
}
\date{\isodayandtime}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\maketitle

\vfill
\begin{abstract}
This paper presents the construction ....
\end{abstract}

\vfill
\newpage

\tableofcontents

\newpage
\section{Introduction}

Le mono\"\i de présnté ici et les statistiques que l'on y définit ont pour origine la Physique Quantique. En 1999, Bender, Brody et Meister \cite{BBM} ont introduit une ``Théorie Quantique des Partitions'' (d'ensembles) basée sur une formule du produit 
\begin{equation}\label{prod_formula}
	F(x\frac{d}{dy})G(y)\Big|_{y=0}
\end{equation}
qui conduit à coupler deux fonctions génératrices exponentielles par un produit de Hadamard adapté. 
Le développement de ce couplage conduit à exhiber diagrammes qui ne sont autres que des multigraphes bi-colorés sans point isolé. Ces diagrammes sont directement issus de la ``formule du produit'' \cite{SBDHP,BBM} 
et les statistiques viennent déformation à plusieurs paramètres \cite{GOF12} d'une algèbre de Hopf construite sur ces diagrammes.\\
L'article est organisé comme suit. Dans un premier paragraphe (section 2), on explique comment ces diagrammes interviennent dans le développement de \mref{prod_formula} et la déformation à 2 paramètres du produit qui donnera les statistiques (croisement et superposition). Le deuxième et troisième paragraphe (sections 3 et 4) sont consacrés respectivement à la construction du mono\"\i de associateur des diagrammes et au développement des statistiques qui produisent les coefficients. En conclusion nous donnons quelques indications sur la structure algébrique du mono\"\i de et des perspectives qui nous semlblent prometteuses.

\section{Un mono\"\i de associé au développement de la formule du produit}

\subsection{Diagrammes et diagrammes étiquetés}

La formule \mref{prod_formula} permet d'effectuer le produit de Hadamard exponentiel (que nous noterons $\mathcal{H}(-,-)$ dans la suite), en effet si 
$F=\sum_{n\geq 0}a_n\frac{z^n}{n!}$ et $G=\sum_{n\geq 0}b_n\frac{z^n}{n!}$, on a 
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}(F,G):=\sum_{n\geq 0}
a_nb_n\frac{z^n}{n!}.
\end{eqnarray}  


\section{Déformation d'une algèbre libre sur un alphabet-semigroupe}

Soit S, un semigroupe, on définit, sur $\ncp{k}{S}$ une loi $\ua$ par $w\ua 1=1\ua w=w$ et  
\begin{equation}
	a.u \ua b.v=a.(u\ua b.v) + q_c^{|u||b|}q_s^{|a||b|}(ab).(u\ua v)+q_c^{|au||b|}b.(au\ua v)
\end{equation}

on va montrer que cette loi est déterminée par 
\begin{itemize}
	\item un monoïde d'actions (permutations compositions) sur les mots qui joue un rôle similaire à celui du groupe symétrique pour le shuffle et le $q$-shuffle
	\item une statistique sur les mots, indexée à des éléments de ce monoïde, qui fournit un associateur
\end{itemize}

{\tt ... partie d'Arthur}

\ss
Soit $[a]$ un tableau à $|a|=n$ places, on lui associe la suite des entrées trouvées par lecture de bas en haut puis de gauche à droite, ceci fournit une fonction de lecture $\lambda_{[a]} : [1..n]\mapsto alph([a])$. 
Pour $I,J$ deux intervalles de $\N^*$, $I$ précédent strictement $J$ ($sup(I)<inf(J)$), on définit la classe de tableaux $ish(I,J)$ comme les tableaux tels que
	
\begin{itemize}
		\item[a)] les colonnes sont de hauteur au plus 2 et croissantes
		\item[b)] les restrictions de la fonction de lecture 
		\begin{equation}
	\lambda_{[a]}^{-1}(I)\mapsto I\ ;\ \lambda_{[a]}^{-1}(J)\mapsto J
\end{equation}  
sont croissantes
\end{itemize}

\begin{remark}\label{un_est_vide}
	Si $I=[r..s]$ (resp. $J=[r..s]$) et que $J=\emptyset$ (resp. $I=\emptyset$), $ish(I,J)$ est constitué du seul tableau $[r..s]$. 
\end{remark}

On considère maintenant que le semigroupe $S$ est gradué sur $\N^*$ par une application $\pi : S\mapsto \N^*$ (on peut, dans une première lecture, considérer que $S=A^+$ et que $\pi$ est donnée par une fonction de poids sur les lettres).

\ss 
\begin{theorem}
On définit alors la statistique $Q([a],w)$ sur les mots $w$ tels que $|w|\geq sup(alph([a]))$ par 
\begin{equation}
	Q([a],w)=\Pi_{c\in [a]\ ;\ c=\big[\stackrel{s}{r}\big]}\ q_s^{\pi(w[r])\times \pi(w[s])}\ 
	\Pi_{j<i\ ;\ \lambda_{[a]}(j)\in J\ ;\ \lambda_{[a]}(i)\in I}\ 
	q_c^{\pi(w[\lambda_{[a]}(i)])\times \pi(w[\lambda_{[a]}(j)])}
\end{equation} 

alors, pour $w_1,\ w_2\in S$, $|w_1|=p\ ;\ |w_2|=q$, on a
\begin{equation}
	w_1\ua w_2=\sum_{[a]\in ish([1..p],[p+1 .. p+q])} Q([a],w_1w_2)\ [a].w_1w_2
\end{equation}
\end{theorem}

\Preuve Soit $\top$ la loi définie par le membre de droite. Pour montrer l'égalité, il suffit de démontrer que $\top$ vérifie la récursion qui définit $\ua$ ce qui se fait par inspection de la statistique $Q$.\cqfd  
 
 
\begin{thebibliography}{ABC}
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\end{thebibliography}

\end{document}
 
\end{document}