UN MONOIDE DE TABLEAUX PROVENANT DE LA PHYSIQUE

QUANTIQUE.

Arthur Randrianarivony^{∗},

Gérard H. E. Duchamp^{†} , Vlady Ravelomanana^{‡}, Karol A. Penson^{§}

21-07-2008 12:38

Résumé

This paper presents the construction ....

∗ ?? † LIPN UMR CNRS 7030 Université de Paris XIII, F-93430, France – e-mail:

ghed@lipn.univ-paris13.fr

‡ LIPN (IBP, CNRS), UMR CNRS 7030 Université de Paris XIII, F-93430, France – e-mail:

vlad@lipn.univ-paris13.fr

§ LPTHE (CNRS), UMR CNRS ?? Université de Paris VI, F-??, France – e-mail:

penson@liptl.jussieu.univ-paris6.fr

Table des matières

1 Introduction 3

1 Introduction

Le monoïde présnté ici et les statistiques que l’on y définit ont pour origine la Physique Quantique. En 1999, Bender, Brody et Meister [3] ont introduit une “Théorie Quantique des Partitions” (d’ensembles) basée sur une formule du produit

F (x\frac{d}{dy})G(y)|_{y=0}  (1)

qui conduit à coupler deux fonctions génératrices exponentielles par un produit de Hadamard adapté.

Soit S, un semigroupe, on définit, sur k⟨S⟩ une loi ↑ par w ↑ 1 = 1 ↑ w = w et

a.u ↑ b.v = a.(u ↑ b.v) + q_{c}^{|u||b|}q_{s}^{|a||b|}(ab).(u ↑ v) + q_{c}^{|au||b|}b.(au ↑ v)  (2)

on va montrer que cette loi est déterminée par

– un monoïde d’actions (permutations compositions) sur les mots qui joue un rôle similaire à celui du groupe symétrique pour le shuffle et le q-shuffle

– une statistique sur les mots, indexée à des éléments de ce monoïde, qui fournit un

associateur

... partie d'Arthur

Soit [a] un tableau à |a| = n places, on lui associe la suite des entrées trouvées par lecture de bas en haut puis de gauche à droite, ceci fournit une fonction de lecture λ_{[a]} : [1..n] ↦ alph([a]). Pour I,J deux intervalles de ℕ^{∗}, I précédent strictement J (sup(I) < inf(J)), on définit la classe de tableaux ish(I,J) comme les tableaux tels que

a) les colonnes sont de hauteur au plus 2 et croissantes

b) les restrictions de la fonction de lecture

λ_{[a]}^{−1}(I) ↦ I ; λ_{[a]}^{−1}(J) ↦ J  (3)

sont croissantes

Remarque 1.1 Si I = [r..s] (resp. J = [r..s]) et que J = ∅ (resp. I = ∅), ish(I,J) est constitué du seul tableau [r..s].

On considère maintenant que le semigroupe S est gradué sur ℕ^{∗} par une application π : S ↦ ℕ^{∗} (on peut, dans une première lecture, considérer que S = A^{+} et que π est donnée par une fonction de poids sur les lettres).

Théorème 1.2 On définit alors la statistique Q([a],w) sur les mots w tels que |w| ≥ sup(alph([a])) par

Q([a],w) = Π_{c∈[a] ; c=[r^{s}]} q_{s}^{π(w[r])×π(w[s])} Π_{j<i ; λ_{[a]}(j)∈J ; λ_{[a]}(i)∈I} q_{c}^{π(w[λ_{[a]}(i)])×π(w[λ_{[a]}(j)])} (4)

alors, pour w_{1}, w_{2} ∈ S, |w_{1}| = p ; |w_{2}| = q, on a

w_{1} ↑ w_{2} = ∑_{[a]∈ish([1..p],[p+1..p+q])} Q([a],w_{1}w_{2}) [a].w_{1}w_{2}  (5)

Preuve — Soit ⊤ la loi définie par le membre de droite. Pour montrer l’égalité, il suffit de démontrer que ⊤ vérifie la récursion qui définit ↑ ce qui se fait par inspection de la statistique Q. □

Références

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