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% Fl\^eches et traits
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% Divers
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\title{\LARGE\bf UN MONOIDE DE TABLEAUX PROVENANT DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE.}

\author{Arthur {\sc Randrianarivony}\thanks{\ ??}, \\
%
G\'erard H. E. {\sc Duchamp}\thanks{\ LIPN UMR CNRS 7030 Universit\'e de Paris XIII,
F-93430, France
-- e-mail: {\tt ghed@lipn.univ-paris13.fr}} ,
%
Vlady {\sc Ravelomanana}\thanks{\ LIPN (IBP, CNRS), UMR CNRS 7030 Universit\'e de Paris XIII,
F-93430, France
-- e-mail: {\tt vlad@lipn.univ-paris13.fr}},
Karol A. {\sc Penson}\thanks{\ LPTHE (CNRS), UMR CNRS ?? Universit\'e de Paris VI,
F-??, France
-- e-mail: {\tt penson@liptl.jussieu.univ-paris6.fr}}
}
\date{\isodayandtime}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\maketitle

\vfill
\begin{abstract}
This paper presents the construction ....
\end{abstract}

\vfill
\newpage

\tableofcontents

\newpage
\section{Introduction}

Le mono\"\i de présnté ici et les statistiques que l'on y définit ont pour origine la Physique Quantique. En 1999, Bender, Brody et Meister \cite{BBM} ont introduit une ``Théorie Quantique des Partitions'' (d'ensembles) basée sur une formule du produit 
\begin{equation}
	F(x\frac{d}{dy})G(y)\Big|_{y=0}
\end{equation}
qui conduit à coupler deux fonctions génératrices exponentielles par un produit de Hadamard adapté. 


\newpage
\setcounter{section}{1}

Soit S, un semigroupe, on définit, sur $\ncp{k}{S}$ une loi $\ua$ par $w\ua 1=1\ua w=w$ et  
\begin{equation}
	a.u \ua b.v=a.(u\ua b.v) + q_c^{|u||b|}q_s^{|a||b|}(ab).(u\ua v)+q_c^{|au||b|}b.(au\ua v)
\end{equation}

on va montrer que cette loi est déterminée par 
\begin{itemize}
	\item un monoïde d'actions (permutations compositions) sur les mots qui joue un rôle similaire à celui du groupe symétrique pour le shuffle et le $q$-shuffle
	\item une statistique sur les mots, indexée à des éléments de ce monoïde, qui fournit un associateur
\end{itemize}

{\tt ... partie d'Arthur}

\ss
Soit $[a]$ un tableau à $|a|=n$ places, on lui associe la suite des entrées trouvées par lecture de bas en haut puis de gauche à droite, ceci fournit une fonction de lecture $\lambda_{[a]} : [1..n]\mapsto alph([a])$. 
Pour $I,J$ deux intervalles de $\N^*$, $I$ précédent strictement $J$ ($sup(I)<inf(J)$), on définit la classe de tableaux $ish(I,J)$ comme les tableaux tels que
	
\begin{itemize}
		\item[a)] les colonnes sont de hauteur au plus 2 et croissantes
		\item[b)] les restrictions de la fonction de lecture 
		\begin{equation}
	\lambda_{[a]}^{-1}(I)\mapsto I\ ;\ \lambda_{[a]}^{-1}(J)\mapsto J
\end{equation}  
sont croissantes
\end{itemize}

\begin{remark}\label{un_est_vide}
	Si $I=[r..s]$ (resp. $J=[r..s]$) et que $J=\emptyset$ (resp. $I=\emptyset$), $ish(I,J)$ est constitué du seul tableau $[r..s]$. 
\end{remark}

On considère maintenant que le semigroupe $S$ est gradué sur $\N^*$ par une application $\pi : S\mapsto \N^*$ (on peut, dans une première lecture, considérer que $S=A^+$ et que $\pi$ est donnée par une fonction de poids sur les lettres).

\ss 
\begin{theorem}
On définit alors la statistique $Q([a],w)$ sur les mots $w$ tels que $|w|\geq sup(alph([a]))$ par 
\begin{equation}
	Q([a],w)=\Pi_{c\in [a]\ ;\ c=\big[\stackrel{s}{r}\big]}\ q_s^{\pi(w[r])\times \pi(w[s])}\ 
	\Pi_{j<i\ ;\ \lambda_{[a]}(j)\in J\ ;\ \lambda_{[a]}(i)\in I}\ 
	q_c^{\pi(w[\lambda_{[a]}(i)])\times \pi(w[\lambda_{[a]}(j)])}
\end{equation} 

alors, pour $w_1,\ w_2\in S$, $|w_1|=p\ ;\ |w_2|=q$, on a
\begin{equation}
	w_1\ua w_2=\sum_{[a]\in ish([1..p],[p+1 .. p+q])} Q([a],w_1w_2)\ [a].w_1w_2
\end{equation}
\end{theorem}

\Preuve Soit $\top$ la loi définie par le membre de droite. Pour montrer l'égalité, il suffit de démontrer que $\top$ vérifie la récursion qui définit $\ua$ ce qui se fait par inspection de la statistique $Q$.\cqfd  
 
 
\begin{thebibliography}{ABC}
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\end{thebibliography}

\end{document}
 
\end{document}