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\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}[section]
\def\preuve{{\it Preuve}:\ }
\newtheorem{propo}[theo]{Proposition}
\newtheorem{coro}[theo]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theo]{Lemme}
\newtheorem{remarque}[theo]{Remarque}
\newtheorem{definition}[theo]{Definition}

\def\R{\mathbb{ R}}
\def\S{\mathbb{ S}}

%opening
\title{Un mono\^\i de de tableaux}
\author{G\'erard Duchamp, Arthur Randrianarivony, Vlady Ravelomanana, Karol A. Penson}
\date{}


\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Dans cette note, nous allons montrer qu'un ensemble de tableaux dont les colonnes ne sont 
pas n\'ecessairement de m\^eme hauteur, muni d'un produit appel\'e produit de concat\'enation,
forme un mono\^\i de.
\end{abstract}
\vskip 4mm
Pour tout entier $n\ge 1$, on d\'esigne par ${\cal T}_n$ 
l'ensemble des tableaux de la forme 
$$
[a]:=\left[\begin{array}{ccccc}
& a(h_2,2)&\cdots &\\
&\vdots&\cdots&a(h_m,m)\\ 
a(h_1,1)&\cdots&\cdots&\vdots\\
\vdots& \vdots&\vdots &\vdots\\ 
a(2,1)& a(2,2)&\cdots &a(2,m)\\ 
a(1,1)& a(1,2)&\cdots &a(1,m)\\ 
\end{array}\right]
$$
o\` u les $a(i,j)$ sont des entiers tous distincts et forment l'ensemble $\{1,2,\ldots,n\}$.\\[3mm]
Pour des raisons typographiques, on note 
$[a]=\left[\left[a_1\right],\left[a_2\right],\ldots,\left[a_m\right]\right]$\\
o\` u $a_j$ est le mot $a(1,j)a(2,j)\cdots a(h_j,j)$.
On note \'egalement $h_j:=|[a]|_j$.\\[3mm]
Nous allons identifier chaque \'el\'ement $[a]=\left[\left[a_1\right],\left[a_2\right],\ldots,\left[a_m\right]\right]$
de  ${\cal T}_n$ 
avec l'\'el\'ement\\ $[a']=\left[\left[a_1'\right],\left[a_2'\right],\ldots,\left[a_m'\right],\left[a_{m+1}'\right]\right]$
de  ${\cal T}_{n+1}$  o\` u $a'_j=a_j$ pour tout $1\le j\le m$ et $a_{m+1}'=n+1$.
\vskip 3mm
Consid\'erons l'ensemble ${\cal T}=\bigcup_{n\ge 1} {\cal T}_n$. et y d\'efinissons le produit de
concat\'enation. \\
Soit $[a]=\left[\left[a_1\right],\left[a_2\right],\ldots,\left[a_m\right]\right]$ et
$[b]=\left[\left[b_1\right],\left[b_2\right],\ldots,\left[b_p\right]\right]$ deux
\'el\'ements de ${\cal T}$.\\
 $[c]:=[a][b]$ est d\'efini par:

\qquad $(i)$ $[c]$ a $m$ colonnes;

\qquad $(ii)$  Pour tout $1\le j\le m$, $c_j=b_{a(1,j)}b_{a(2,j)}\cdots b_{a(h_j,j)}:=\prod_ib_{a(i,j)}$.

D'apr\` es la d\'efinition de $b_k$, $(ii)$ peut se traduire par
\begin{equation}\label{produitconcatenation}
c_n:=\prod_j\prod_ib(i,a(j,n))\quad (1\le n\le m).
\end{equation}
{\it Exemple$1$}: Soit $[a]=[[3,4,1],[7,2],[5,8,6]]$ et $[b]=[[3],[2,1]]$. On a:\\
$\begin{array}{lll}
b_{a(1,1)}=b_3=4& b_{a(2,1)}=b_4=5&b_{a(3,1)}=b_1=3\\
b_{a(1,2)}=b_7=8& b_{a(2,2)}=b_2=2,1&\\
b_{a(1,3)}=b_5=6& b_{a(2,3)}=b_8=9&b_{a(3,3)}=b_6=7\\
\end{array}
$\\
Par suite $[a][b]=[[4,5,3],[8,2,1],[6,9,7]]$.\\[3mm]
Notre objectif est de d\'emontrer le th\'eor\` eme suivant.
\begin{theo}
 ${\cal T}$ muni du produit de concat\'enation est un mono\^\i de.
\end{theo}

Pour cela, nous allons introduire un ensemble d'applications qui soit isomorphe \` a $\cal T$.\\
Soit $(X_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables, $S$ l'ensemble des suites $(w_n)_{n\ge 1}$ telles que:

\qquad $(i)$ Pour tout $n\ge 1$, $w_n$ est un mot fini non vide form\'e par des variables $X_i$;

\qquad $(ii)$ Le mot infini $w_1w_2\cdots w_n\cdots $ est un r\'earrangement du mot
$X_1X_2\cdots X_n\cdots$.\\
Pour tout $[a]\in{\cal T}$, on d\'esigne par $f_{[a]}$ l'application de $S$ dans lui-m\^eme
telle  que, si $(w_n')=f_{[a]}((w_n))$, alors, pour tout $n\ge 1$,
$$
w_n'=w_{a(1,n)}w_{a(2,n)}w_{a(h_n,n)}:=\prod_iw_{a(i,n)} \quad (h_n:=|[a]|_n).
$$
Soit ${\cal A}$ l'ensemble de toutes les applications $f_{[a]}$ $([a]\in{\cal T})$.
\begin{propo}
L'application $\Phi:{\cal T}\longrightarrow {\cal A}, [a]\mapsto f_{[a]}$ est un 
isomorphisme.
\end{propo}
\preuve Par construction, $\Phi$ est surjective.\\
D'autre part, soit $[a]$ et $[b]$ deux \'el\'ements de ${\cal T}$ tels que $f_{[a]}=f_{[b]}$.\\
On a\qquad 
  $f_{[a]}((X_n))=f_{[b]}((X_n))$,\\ c-\` a-d, pour tout $n\ge 1$, 
$$
X_{a(1,n)}X_{a(2,n)}\cdots X_{a(|[a]|_n,n)}=
X_{b(1,n)}X_{b(2,n)}\cdots X_{b(|[b]|_n,n)}.
$$
Il s'ensuit que, pour tout $n\ge 1$ et tout $1\le i\le |[a]|_n$,  $|[a]|_n=|[b]|_n$ et $a(i,n)=b(i,n)$.\\
 $\Phi$ est donc bijective.\\
Enfin, soit $[a]$ et $[b]$ deux \'el\'ements de ${\cal T}$ et $(w_n)\in S$.\\
 Posons 
$f_{[b]}((w_n))=(w_n')$ et $f_{[a]}((w_n'))=(w_n'')$. On a:
\begin{equation}\label{homo}
w'_n=\prod_iw_{b(i,n)}\ \hbox{et}\ w''_n=\prod_jw'_{a(j,n)}=\prod_j\prod_iw_{b(i,a(j,n))}.
\end{equation}
De l'autre c\^ot\'e, si $[c]=[a][b]$ et $f_{[c]}((w_n))=(v_n)$, on a, d'apr\` es la relation
(\ref{produitconcatenation}),
\begin{equation}\label{homomo}
v_n=\prod_iw_{c(i,n)}=\prod_j\prod_iw_{b(i,a(j,n))}.
\end{equation}
En comparant les relations $(\ref{homo})$ et $(\ref{homomo})$, on a
$\Phi([a][b])=\Phi([a])\Phi([b])$.\\
Il en r\'esulte que $\Phi$ est un isomorphisme.\\
Par suite, le produit de concat\'enation est associatif  et on a le Th\'eor\` eme.\\[3mm]
{\it Exemple$2.$} Prenons les tableaux $[a]$ et $[b]$ de l'exemple $1$
et soit $(w_n)\in S$.\\
 Posons $f_{[b]}((w_n))=(w_n')$,  $f_{[a]}((w_n'))=(w_n'')$
et $f_{[c]}((w_n))=(v_n)$ $([c]=[a][b])$.\\
 On a:\\
$w'_1=w_{b(1,1)}=w_3$,\quad $w'_2=w_{b(1,2)}w_{b(2,2)}=w_2w_1$\quad et, pour $n\ge 3$, $w'_n=w_{b(1,n)}=w_{n+1}$;\\[2mm]
$w''_1=w'_{a(1,1)}w'_{a(2,1)}w'_{a(3,1)}=w'_3w'_4w'_1=w_4w_5w_3$,\\
$w''_2=w'_{a(1,2)}w'_{a(2,2)}=w'_7w'_2=w_8w_2w_1$\\
$w''_3=w'_{a(1,3)}w'_{a(2,3)}w'_{a(3,3)}=w'_5w'_8w'_6=w_6w_9w_7$,\quad
et pour $n\ge 4$ $w''_n=w'_{a(1,n)}=w'_{n+5}=w_{n+6}$.\\[3mm]
D'autre part,\\
 $v_1=w_{c(1,1)}w_{c(2,1)}w_{c(3,1)}=w_4w_5w_3$,\\
 $v_2=w_{c(1,2)}w_{c(2,2)}w_{c(3,2)}=w_8w_2w_1$,\\
$v_3=w_{c(1,3)}w_{c(2,3)}w_{c(3,3)}=w_6w_9w_7$\quad
 et pour $n\ge 4$ $v_n=w_{c(1,n)}=w_{n+6}$.\\[3mm]
On a bien $f_{[a][b]}=f_{[a]}f_{[b]}$.\\[3mm]
{\bf Remarque}. Le Th\'eor\` eme est encore vrai si ${\cal T}$ est form\'e par les 
tableaux constitu\'es par des entiers non n\'ecessairement distincts.













\end{document}
