% Date: Me 17 juillet 1996

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% Fonte pour Paris
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\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition}
\newtheorem{note}{Note}
\newtheorem{remarque}[note]{Remarque}

\def\Preuve{\medskip\noindent {\it Preuve --- \ }}
\def\cqfd{\hfill $\Box$ \bigskip}

\def\bb{\sym}

\def\bs{$\backslash$}
\def\G{\Gamma}
\def\g{\gamma}
\def\S{\Gamma^{(1)}}
\def\H{{\cal H}}
\def\ep{\epsilon}
\def\al{\alpha}
\def\A{{\bb A}}
\def\C{{\bb C}}
\def\R{{\bb R}}
\def\N{{\bb N}}
\def\bX{\bar X}
\def\s{s}


\title{\LARGE Un crit\`ere de rationalit\'e\\
provenant de la g\'eom\'etrie non commutative}

\author{\sc - \`A la m\'emoire de Sch\"utzenberger -
\\\\\\
G\'erard \sc Duchamp\rm\thanks{
            LIFAR, Universit\'e de Rouen, Place Emile Blondel, B.P. 118, 76134 
            Mont-Saint-Aignan Cedex, France. Soutenu par le GDR AMI.}
            \null\ et 
            Christophe \sc Reutenauer\rm\thanks{Math\'ematiques, 
            Universit\'e du Qu\'ebec \`a Montr\'eal C.P. 8888, Succ. 
            Centre-Ville Montr\'eal Qc Canada H3C 3P8. L'auteur a 
            b\'en\'efici\'e 
            d`une subvention CRSNG (Canada) 
            et de l'hospitalit\'e de l'Universit\'e Louis Pasteur (Strasbourg).
            }}

\date{}
% ***************************************************************************
\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
We prove a conjecture of A. Connes, which gives a rationality criterion 
for elements of the closure of $\C\G$ ($\G$ a free group) in the space of 
bounded operators in $l^2(\G)$. We show that this criterion applies also to 
the ring of Malcev-Neumann series on $\G$.
\end{abstract}

\bigskip
\centerline{Publi\'e dans 
Inventiones Mathematicae, {\bf 128} (1997)}


\section{Introduction}

Soit $X$ un alphabet et $\G$, le groupe librement engendr\'e par $X$.
Pour une fonction \`a valeurs complexes quelconque $f:\G\rightarrow \C$, on 
d\'efinit $||f||_2=\sum_{g\in \G} |f(g)|^2\in [0,\infty]$ et 
$l^2(\G)=\{f:\G\rightarrow \C\ {\rm t.q.}\ ||f||_2<\infty\}$ muni de la base 
$(\ep_g)_{g\in \G}$ et de la structure hilbertiennes habituelle.

Dans son livre "Noncommutative Geometry"\cite{C}, {\sc A. Connes} 
construit plusieurs sous-alg\`ebres de $End(l^2(\G))$.

D'abord $l^2(\G))$ se plonge dans $End(l^2(\G))$ par la repr\'esentation 
r\'eguli\`ere gauche (par convolution), et les \'el\'ements de $\C\G$ 
d\'efinissent des op\'erateurs born\'es, i.e. dans ${\cal L}(l^2(\G))$ 
(car la repr\'esentation de $\G$ est unitaire). Ceci permet de d\'efinir 
la $C^*$ alg\`ebre {\it r\'eduite} $C^*_r(\G)$ qui est l'adh\'erence de 
$\C\G$ dans ${\cal L}(l^2(\G))$ muni de la norme de la convergence born\'ee.

Ensuite (p 342), il d\'efinit une cl\^oture de $\C\G\subset C^*_r(\G)$ par 
adjonction de coefficients d'inverses de matrices. Nous en rappellons la 
construction ci-dessous.

Soit $(C^*_r(\G))_n$ la plus petite sous-alg\`ebre 
${\cal B}\subset C^*_r(\G)$ telle que $\G\subset {\cal B}$ et que
$$
x\in M_n({\cal B})\cap [M_n(C^*_r(\G))]^{-1}\Longrightarrow x\in 
[M_n({\cal B})]^{-1}
$$
On a \'evidemment
$$
(C^*_r(\G))_1\subset (C^*_r(\G))_2\subset\cdots (C^*_r(\G))_n\subset\cdots
$$
la cl\^oture annonc\'ee est 
$(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}=\cup_{n\geq 1}(C^*_r(\G))_n$. 

Enfin (au paragraphe IV.5) est d\'efini un module de {\sc Fredholm} 
(pour la d\'efinition exacte voir le paragraphe \ref{ratred}) qui conduit 
\`a la caract\'erisation d'une sous-alg\`ebre 
$(C^*_r(\G))_{fin}\subset C^*_r(\G)$ par une condition de finitude de rang.

 {\sc A. Connes} remarque que 
 $(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}\subset (C^*_r(\G))_{fin}$ et conjecture 
 l'inclusion inverse (p342 remarque 3).

Dans ce qui suit nous d\'emontrons que
$(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}=(C^*_r(\G))_1$, ce qui entraine la conjecture et 
l'\'egalit\'e de tous les $(C^*_r(\G))_n$.

En fait, la condition de finitude qui sert \`a d\'efinir $(C^*_r(\G))_{fin}$ 
\'etant alg\'ebrique, nous l'examinons d'abord, dans la premi\`ere partie, 
pour le cas d'un corps quelconque (les fonctions $l^2$ \'etant remplac\'ees 
par {\it toutes} les fonctions). Nous montrons qu'elle constitue une variante 
(pour les s\'eries de mots r\'eduits du groupe libre) d'un crit\`ere de 
rationalit\'e bien connu pour les s\'eries formelles de mots dans le 
mono\"\i de libre. Dans une deuxi\`eme partie nous montrons la convergence 
des solutions obtenues pour la construction d'origine; la d\'emonstration 
utilise une forme normale pour les s\'eries rationnelles non commutatives, 
i.e. la repr\'esentation 
minimale de {\sc Sch\"utzenberger} et {\sc Fliess}, qui \'etend la notion 
d'automate minimal d'un langage formel. Ceci montre que les s\'eries solution 
 sont dans $(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}$. L'argument qui permet ensuite de 
passer de $(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}$ \`a $(C^*_r(\G))_1$ est que, au 
voisinage de l'unit\'e, l'inverse d'une matrice \`a coefficients dans une 
alg\`ebre de {\sc Banach} est une fonction rationnelle (non commutative) de 
ses 
coefficients. On utilise pour cela une formule d'inversion des matrices 
non commutatives qui apparait naturellement lorsque l'on r\'esout
des syst\`emes lin\'eaires sur un corps gauche \cite{H,R1} (ces formules 
ont servi de point de d\'epart \`a la th\'eorie moderne des 
quasi-d\'eterminants \cite{GR,GT}). 

Enfin, en troisi\`eme partie, nous montrons que le crit\`ere de {\sc Connes} 
ci-dessous s'applique aux s\'eries de {\sc Malcev-Neumann} rationnelles et 
donc 
caract\'erise, selon \cite{L} les \'el\'ements du corps libre \cite{Co}.

\medskip\noindent 
{\sc Remerciements ---} Nous remercions {\sc I.M. Gelfand} gr\^ace \`a qui 
ce probl\`eme a \'et\'e signal\'e aux auteurs.

\section{S\'eries rationnelles}

\subsection{G\'en\'eralit\'es}\label{gene}

Nous rappellons ci-dessous les r\'esultats sur les s\'eries rationnelles 
dont nous aurons besoin dans la suite. Ils seront expos\'es sans leurs 
d\'emonstrations que l'on peut toutes trouver, par exemple dans \cite{BR}.

Soit $\A$ un aphabet, on rappelle que le {\it mono\"\i de librement 
engendr\'e par $\A$} (not\'e $\A^*$) est l'ensemble des suites finies (ou 
{\it mots})
$$
w=a_1a_2\cdots a_n,\ a_i\in \A
$$
L'entier $n$ est la {\it longueur} de $w$ et est not\'e $|w|$. La loi de 
composition du mono\"\i de $\A^*$ est la {\it concat\'enation}. Pour 
$u=a_1a_2\cdots a_p,\ v=b_1b_2\cdots b_q$ on a 
$uv=a_1a_2\cdots a_pb_1b_2\cdots b_q$. L'\'el\'ement neutre $1_{\A^*}$ 
est l'unique mot de longueur $0$ (i.e. la suite vide).

Soit $k$ un anneau commutatif et $k^{\A^*}$ (resp. $k^{(\A^*)}$) l'ensemble 
des fonctions (resp. des fonctions \`a support fini) $\A^*\rightarrow k$ 
muni de leurs structures de $k$-module usuelles. La forme lin\'eaire sur 
$k^{\A^*}\otimes_k k^{(\A^*)}$ d\'efinie par 
$$
(f,g):=\sum_{w\in\A^*}f(w)g(w)
$$ 
permet d'identifier le module $k^{\A^*}$ au dual 
${\rm Hom}_{k}(k^{(\A^*)},k)$.

La topologie de $k^{\A^*}$ est celle de la convergence simple ($k$ \'etant 
muni de la topologie discr\`ete). Pour tout $S\in k^{\A^*}$ la famille 
$\bigl((S,w)w\bigr)_{w\in \A^*}$ est sommable et de somme $S$, ce qui 
justifie la notation sommatoire

\begin{equation}\label{ser}
S=\sum_{w\in \A^*} (S,w)w
\end{equation}

La notation fonctionnelle est bien adapt\'ee au produit de {\sc Hadamard} 
(ou ponctuel) $f\odot g:w\rightarrow f(w)g(w)$. La notation sommatoire 
(\ref{ser}) convient au produit de {\sc Cauchy} (ou de convolution). Ici, toutes les 
fonctions sont convolables, c'est a dire que pour tout 
$S,T\in k^{\A^*}$, la s\'erie
$$
ST=\sum_{w\in \A^*}\bigl(\sum_{uv=w} (S,u)(T,v)\bigr)w
$$ 
est bien d\'efinie. Ce produit permet de munir $k^{\A^*}$ d'une 
structure de $k$-alg\`ebre associative avec unit\'e que l'on notera $k<<\A>>$ 
et qui s'appelle l'alg\`ebre des {\it s\'eries formelles non commutatives} 
(sur l'alphabet $\A$ et \`a coefficients dans $k$).

Les \'el\'ements de $k^{(\A^*)}$ s'appellent des {\it polyn\^omes 
non commutatifs} (sur l'alphabet $\A$ et \`a coefficients dans $k$), ils 
forment 
une sous-alg\`ebre de $k^{\A^*}$, not\'ee $k<\A>$, qui n'est autre que 
l'alg\`ebre du mono\"\i de $\A^*$. Les repr\'esentations r\'eguli\`eres 
gauches et droites font de $k<\A>$ un $k<\A>-\,k<\A>$ bimodule. Son dual 
$k<<\A>>$ est donc aussi un $k<\A>-\,k<\A>$ bimodule dont les actions seront 
not\'ees "$\circ$". Explicitement, pour 
$(P,Q,S)\in k<\A>\times k<\A>\times k<<\A>>$ on a la formule
$$ 
(P\circ S\circ Q,w):=(S,QwP)
$$
La s\'erie $P\circ S\circ Q$ sera appell\'ee une {\it d\'ecal\'ee} de $S$.

Certaines s\'eries v\'erifient des {\it r\'ecurrences lin\'eaires} i.e.  
leurs coefficients peuvent \^etre calcul\'es par une 
{\it repr\'esentation lin\'eaire}. On appelle ainsi la donn\'ee d'un triplet 
$(\lambda,\mu,\g)$ o\`u $\lambda\in k^{1\times n}$, 
$\mu:\A^*\rightarrow M_n(k)$ (morphisme de mono\"\i des multiplicatifs) et 
$\g\in k^{n\times 1}$ tel que 
$$
(\forall w\in \A^*)\bigl((S,w)=\lambda\mu(w)\g \bigr)
$$
Ces s\'eries sont dites {\it reconnaissables} ou {\it rationnelles}.
Pour justifier le deuxi\`eme attribut et \'enoncer le th\'eor\`eme 
principal de cette section nous rappellons la d\'efinition de la 
{\it cl\^oture rationnelle}.

\begin{definition}\label{cr}
Soit ${\cal A}$ une alg\`ebre et ${\cal B}\subset {\cal A}$. La cl\^oture 
rationnelle de ${\cal B}$ est la plus petite sous-alg\`ebre contenant 
${\cal B}$ et stable par passage \`a l'inverse.
\end{definition}
\begin{theoreme}\label{ks}
Soit $S\in k<<\A>>$. Les conditions suivantes sont\\ 
\'equivalentes.\\
i) La s\'erie $S$ appartient \`a un sous module de type fini du $k<A>$-module 
\`a gauche $k<<\A>>$.\\
ii) La s\'erie $S$ appartient \`a un sous module de type fini du $k<A>$-module 
\`a droite $k<<\A>>$.\\
iii) La s\'erie $S$ est reconnaissable.\\
iv) La s\'erie $S$ est dans la cl\^oture rationnelle de $k<\A>$.
\end{theoreme}

\begin{remarque} 
i) Les s\'eries reconnaissables ne sont autres que les 
{\it fonctions repr\'esentatives} sur $\A^*$ {\rm\cite{A,CP}}.\\
ii) La caract\'erisation (i-ii) sous la forme de sous-module de type fini est 
essentiellement due \`a {\sc Fliess} {\rm\cite{F2}} et \`a {\sc Jacob} 
{\rm\cite{J}}.\\
iii) L'\'equivalence de (iii) et de (iv) est due \`a {\sc Sch\"utzenberger} 
{\rm\cite{S}}.\\
iv) La th\'eorie ci-dessus s'\'etend mutatis mutandis aux semi-anneaux. Par 
exemple l'\'equivalence de (iii) et des autres propri\'et\'es, qui est centrale 
en th\'eorie des langages puiqu'elle donne le th\'eor\`eme de {\sc Kleene}, 
est la sp\'ecialisation du theoreme {\rm \ref{ks}} au semi-anneau de 
{\sc Boole}.
\end{remarque}

Soit $S$ admettant la repr\'esentation lin\'eaire $(\lambda,\mu,\g)$. 
Formons la matrice $M:=\sum_{x\in\A}\mu(x)x$. Alors 
$\sum_{|w|=n}(S,w)w=\lambda M^n\g$ et donc 
$$
S=\lambda (\sum_{n\geq 0}M^n)\g=\lambda (1-M)^{-1}\g
$$ 
puisque $(M^n)_{n\geq 0}$ est sommable dans $M_n(k<<\A>>)\simeq M_n(k)<<\A>>$. 

On a aussi le th\'eor\`eme suivant

\begin{theoreme}\label{had}{\rm \cite{S2}}
Le produit de {\sc Hadamard} de deux s\'eries rationnelles est rationnel.
\end{theoreme}

Les repr\'esentations lin\'eaires $(\lambda,\mu,\g)$ d'une s\'erie $S$ 
telles que $n$ soit minimum sont appell\'es 
{\it repr\'esentations minimales}. Lorsque $k$ est un corps commutatif elles 
sont conjugu\'ees entre elles. Dans de telles repr\'esentations, on peut 
exprimer les coefficients matriciels de $\mu(w)$ par des d\'ecal\'ees de $S$.

\begin{theoreme}\label{bidec}{\rm \cite{F2,S}}
Soit $k$ un corps commutatif et $(\lambda,\mu,\g)$ une repr\'esentation 
r\'eduite de dimension $n$ de $S\in k<<\A>>$. Alors il existe des polyn\^omes 
$P_1,P_2,\cdots ,P_n,Q_1,Q_2,\cdots ,Q_n$ tels que, pour tout $w\in \A^*$ 
$$
\mu(w)=\bigl((S,P_iwQ_j)\bigr)_{1\leq i,j\leq n}=
\bigl((Q_j\circ S\circ P_i,w)\bigr)_{1\leq i,j\leq n}
$$
\end{theoreme}

\subsection{Un crit\`ere de rationalit\'e pour les s\'eries de mots r\'eduits}
\label{ratred}

Soit $\bX$, une copie disjointe de $X$. On consid\`ere le morphisme de 
mono\"\i des $\s:(X\cup\bX)^*\rightarrow \G$ d\'efini par 
$\s(x)=x$ et $\s(\bar x)=x^{-1}$, c'est une surjection qui permet de d\'efinir 
 la fonction longueur $l(g)=inf\{|w||\s(w)=g\}$. Il 
 est bien connu que ce minimum est atteint une fois et que l'ensemble des 
 minima est exactement celui des mots sans facteur $x\bar x$ (dans la suite 
 nous convenons que $\bar {\bar x}= x$), que nous appellerons {\it r\'eduits}. 
 Notons 
$m=\G\rightarrow (X\cup\bX)^*$, l'application qui, \`a chaque \'el\'ement de 
$\G$, fait correspondre son unique repr\'esentant r\'eduit (l'image de 
$m$ sera not\'ee $red(X)$). C'est une section de $\s$.

La construction qui suit est l'analogue alg\'ebrique de celle donn\'ee en 
\cite{C}. Nous la donnons compl\`etement ci-dessous.

Pour tout $g\in \G-\{1\}$, $m(g)=ux$ avec $u\in (X\cup\bX)^*,x\in X\cup\bX$ 
uniques;
 $\phi(g)=\s(u)$ est le {\it premier pas vers l'origine}. Les ar\^etes du 
 graphe de {\sc Cayley} (non orient\'e) de $\G$ sont les paires $\{g,gx\}$ 
 avec $x\in X\cup\bX$ et $l(gx)=l(g)+1$, leur ensemble sera not\'e $\G^{(1)}$. 

Soit $k$ un corps commutatif, nous construisons les espaces 
$$
\displaylines{
\H^+=k^{(\G)},\ \H^-=k^{(\S)}\oplus k,\ \H=\H^+\oplus \H^-\cr
\bar\H^+=k^\G,\ \bar\H^-=k^{\S} \oplus k,\ 
\bar\H=\bar\H^+\oplus \bar\H^-
}
$$ 
Soit $P: \H^+\rightarrow\H^-$, l'application bijective d\'efinie par
$$P\ep_1=1_k;\ P\ep_g=\{\ep_{\phi(g)},\ep_g\}\ {\rm pour}\ g\in \G-\{1\}$$

On d\'efinit une application involutive sur $\H$ et $\bar \H$ par 
$$F=
\left(
\matrix{
0 & P^{-1}\cr
P & 0
}
\right).
$$

 Les s\'eries $a=\sum_{h\in \G}\alpha_h h\in k^\G$ peuvent \^etre vues comme 
 des applications $\H\rightarrow \bar\H$ de la fa\c con suivante
$$
 a\{g,gx\}=\sum_{h\in \G}\alpha_h \{hg,hgx\},\ a1_k=0,\ 
 ag=\sum_{h\in \G}\alpha_h hg
$$
\begin{remarque}\label{rem2}
i) Pour tout $a\in k\G$, l'op\'erateur $[F,a]$ est de rang 
fini.\\
ii) Un calcul simple montre que 
$rg([F,a])<\infty \Longleftrightarrow rg([P,a])<\infty
\Longleftrightarrow rg([P^{-1},a])<\infty $.\\
iii) Si $\{g,gx\}$ est une ar\^ete (avec $l(gx)=l(g)+1$), on a 
$P^{-1}\{g,gx\}=gx$.
\end{remarque} 

\begin{proposition}\label{alg} 
Soit $a\in k^\G$ telle que $[F,a]$ soit de rang fini. Alors
$m(a):=\sum_{h\in \G}\alpha_h m(h)\in k<<X\cup\bX>>$ est une s\'erie 
rationnelle.
\end{proposition}

\Preuve Pour ne pas alourdir la notation, nous identifierons dans cette preuve 
tout \'el\'ement $g\in \G$ avec son repr\'esentant r\'eduit $m(g)$ dans 
$red(X)$. Soit alors $\g=\{g,gx\}\in \S$, avec $l(gx)=l(g)+1$. Soit $h\in \G$; 
la remarque \ref{rem2} iii) implique que $P^{-1}\{hg,hgx\}=hgx$ sauf si dans 
le produit $h(gx)$, le facteur $gx$ disparait par simplification, i.e. 
$h=h_1\bar x\bar g$ auquel cas $P^{-1}\{hg,hgx\}=h_1\bar x$.\\
Nous en d\'eduisons
$$\displaylines{
P^{-1}a\g=P^{-1}\sum_{h\in \G}\alpha_h \{hg,hgx\}=
\sum_{h\in \G}\alpha_h P^{-1}\{hg,hgx\}=\cr
\sum_{h=h_1\bar x\bar g}\alpha_h h_1\bar x+
\sum_{h\not= h_1\bar x\bar g}\alpha_h hgx
}
$$
De plus
$$\displaylines{
aP^{-1}\g=agx=\sum_{h\in \G} \alpha_h hgx=
\sum_{h=h_1\bar x\bar g}\alpha_h h_1+
\sum_{h\not= h_1\bar x\bar g}\alpha_h hgx
}
$$
D'o\`u l'on tire
$$\displaylines{
[P^{-1},a]\g=\sum_{h=h_1\bar x\bar g}\alpha_h (h_1\bar x-h_1)=
(\sum_{h_1\bar x\bar g\in red(X)}\alpha_h h_1)(\bar x-1)
}
$$
Notons que, puisque le support de $S=m(a)$ est form\'e de mots r\'eduits, on a 
d'apr\`es une formule du paragraphe \ref{gene},
$$\displaylines{
(\bar x\bar g)\circ S=\sum_{w\in (X\cup\bX)^*}(S,w\bar x\bar g)w=
\sum_{w\bar x\bar g\in red(X)}(S,w\bar x\bar g)w=
\sum_{w\bar x\bar g\in red(X)}\alpha_{w\bar x\bar g} w
}
$$
D'o\`u
$$
[P^{-1},a]\g=(\bar x\bar g\circ S)(\bar x-1)
$$
Par hypoth\`ese, les s\'eries $[P^{-1},a]\g$ forment une famille de rang fini 
quand $\g=\{g,gx\}$ varie dans $\S$. Il en est donc de m\^eme des s\'eries 
$(\bar x\bar g)\circ S$, quand $\bar x\bar g$ parcourt l'ensemble des mots 
r\'eduits non vides puisque $X$ est fini et que la multiplication par 
$(\bar x-1)$ est injective. Comme $w\circ S$ est nul si $w$ n'est pas 
r\'eduit, le Th. \ref{ks} i) implique que $S$ est rationnelle.
\cqfd

\section{Application \`a la g\'eom\'etrie non commutative}

\subsection{S\'eries rationnelles dans $C^*_r(\G)$}\label{srat}

Nous retournons maintenant \`a la construction d'origine \cite{C}. Ici 
$k=\C$, $\H^+=l^2(\G)$ et $\H^-=l^2(\S)\oplus \C$. Les application $P$ et 
$F$ permutent des bases hilbertiennes et d\'efinissent donc des op\'erateurs 
unitaires.

\begin{definition}
i) Soit, pour $n\geq 1$, $(C^*_r(\G))_n$ la plus petite sous alg\`ebre 
${\cal B}\subset C^*_r(\G)$ telle que $\G\subset {\cal B}$ 
et que
$$
x\in M_n({\cal B})\cap [M_n(C^*_r(\G))]^{-1}\Longrightarrow x\in 
[M_n({\cal B})]^{-1}
$$
ii) Soit $(C^*_r(\G))_{fin}$ l'alg\`ebre des $a\in C^*_r(\G)$ tels que 
$[F,a]$ soit de rang fini.
\end{definition}

\begin{remarque}
En vertu de la D\'ef. \ref{cr}, $(C^*_r(\G))_1$ est la cl\^oture rationnelle de $\G$ 
dans $C^*_r(\G)$.
\end{remarque}

\begin{theoreme}\label{conj}
 Tous les espaces pr\'ec\'edents sont \'egaux soit 
$$
(C^*_r(\G))_1=(C^*_r(\G))_2=\cdots =(C^*_r(\G))_n=\cdots
=(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}=(C^*_r(\G))_{fin}
$$
\end{theoreme}
\Preuve Les inclusions suivantes sont claires
$$
(C^*_r(\G))_1\subset (C^*_r(\G))_2\subset\cdots \subset (C^*_r(\G))_n
\subset\cdots \subset (C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}
$$
Le fait que $(C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}\subset (C^*_r(\G))_{fin}$
est signal\'e dans \cite{C} et r\'esulte aussi du lemme suivant.

\begin{lemme}
Soit ${\cal A}$ une $k$-alg\`ebre, ${\rm d}$ une d\'erivation, 
et ${\cal J}$ un id\'eal bilat\`ere de ${\cal A}$. 
On d\'efinit la sous alg\`ebre 
${\cal C}=\{a\in {\cal A}| {\rm d} (a)\in\cal J\}$. 
Soit $Z\subset {\cal C}$ et $Z_n$ la 
plus petite sous alg\`ebre ${\cal B}$ telle que 
$Z\subset {\cal B}$ et que 
$$
x\in M_n({\cal B})\cap [M_n({\cal A})]^{-1}\Longrightarrow x\in 
[M_n({\cal B})]^{-1}
$$
alors $Z_n\subset {\cal C}$.
\end{lemme}
\Preuve Soit $({\cal B}_m)_{m\geq 0}$, la suite de sous-alg\`ebres d\'efinie 
par ${\cal B}_0$, la sous-alg\`ebre engendr\'ee par $Z$ et ${\cal B}_{m+1}$, 
la sous-alg\`ebre engendr\'ee par ${\cal B}_m$ et les coefficients des 
inverses des matrices de $M_n({\cal B}_m)\cap [M_n({\cal A})]^{-1}$. Il est 
clair que 
$Z_n=\cup_m{\cal B}_m$. 

L'extension de ${\rm d}$ \`a $M_n({\cal A})$ (que nous noterons 
${\rm d}_n$ et qui est d\'efinie par 
${\rm d}_n([x_{ij}])=[{\rm d}(x_{ij})]$), est encore une d\'erivation. 
Par hypoth\`ese ${\cal B}_0\subset {\cal C}$ et supposons que 
${\cal B}_m\subset {\cal C}$. Soit 
$x\in M_n({\cal B}_m)\cap [M_n({\cal A})]^{-1}$. La formule  
${\rm d}_n(x^{-1})=-x^{-1}{\rm d}_n(x)x^{-1}$ montre que 
$({\rm d}_n(x^{-1}))_{ij}\in {\cal J}$ d'o\`u 
$(x^{-1})_{ij}\in {\cal C}$ ce qui d\'emontre le lemme.
\cqfd

\medskip
\noindent 
{\it Suite de la preuve du th\'eor\`eme \ref{conj} --- \ } On applique le 
lemme pr\'ec\'edent \`a ${\rm d}=ad_F,\ Z=C\G,\ {\cal A}=C^*_r(\G)$, et 
${\cal J}$ l'id\'eal des op\'erateurs de rang fini ${\cal A}$. 

\cqfd

Nous avons maintenant \'etabli les inclusions
$$
(C^*_r(\G))_1\subset (C^*_r(\G))_2\subset\cdots \subset (C^*_r(\G))_n\subset
\cdots\subset (C^*_r(\G))^{\widetilde{\ }}\subset (C^*_r(\G))_{fin}
$$
Le th\'eor\`eme \ref{conj} sera compl\`etement d\'emontr\'e quand nous aurons 
\'etabli l'inclusion $(C^*_r(\G))_{fin}\subset (C^*_r(\G))_1$, 
ce qui est l'objet du paragraphe suivant.

\subsection{S\'eries rationnelles dans $l^2(\G)$}\label{final}

Soit $a=\sum_{g\in \G}\alpha_g g\in l^2(\G)$. Alors $a$ d\'efinit par 
convolution \`a gauche un op\'erateur dans $End(l^2(\G))$. Nous montrons que 
si $m(a)$ est rationnelle, alors l'op\'erateur $a$ est dans 
$(C^*_r(\G))_1$, ce qui permettra de finir la preuve du th\'eor\`eme 
\ref{conj}.

\begin{proposition}\label{lrat}
Soit $a\in l^2(\G)$ tel que $m(a)$ soit rationnelle dans\\ 
$\C<<X\cup\bX>>$. 
Alors l'op\'erateur $a$ est dans $(C^*_r(\G))_1$.
\end{proposition}
\Preuve
Cette proposition r\'esulte des deux lemmes suivants

\begin{lemme}\label{croiss} 
Soit $a=\sum_{g\in \G}\alpha_g g\in l^2(\G)$ telle que 
$S=m(a)=\sum_{h\in \G}\alpha_h m(h)$ soit rationnelle dans 
$\C<<X\cup\bX>>$. Pour tout
$m\in \N$, on pose $a_m=\sum_{l(g)=m}\alpha_g g\in \C\G$. Alors\\
i) La s\'erie $\sum_{n\geq 0}a_n$ est normalement convergente dans $C^*_r(\G)$ 
et a pour somme l'op\'erateur $a$. En particulier, celui-ci est dans 
$C^*_r(\G)$.\\
ii) Pour toute d\'ecal\'ee $T$ de $S$, $s(T)$ est dans $C^*_r(\G)$.
\end{lemme}

\Preuve i) Soit $\bar a=\sum_{g\in \G}\bar\alpha_g g$, 
$\bar S=m(\bar a)$ est \'egalement rationnelle et donc, en vertu du Th. 
\ref{had}, \'egalement $S\odot \bar S=\sum_{w\in Red(X)}|\alpha_{\s(w)}|^2 w$. L'image 
de cette s\'erie par la sp\'ecialisation $x\rightarrow t$ pour tout 
$x\in X\cup\bX$ donne $\sum_{g\in \G}|\alpha_g|^2 t^{l(g)}$ qui est une 
s\'erie de $\R_+[[t]]$, rationnelle et qui converge pour $t=1$. D'apr\`es un
r\'esultat de {\sc Kronecker} \cite{C}, ceci implique 
que sa somme (qui est une fraction rationnelle) a tous ses p\^oles en dehors 
du disque unit\'e. On a alors la condition de croissance avec $0<c<1,\ 0<M$
$$
\sum_{l(g)=m}|\alpha_g|^2\leq M c^m
$$
l'in\'egalit\'e de {\sc Haagerup} \cite{C} implique alors que pour la norme 
de la 
convergence born\'ee on ait $||a_m||\leq M(1+m)^kc^m$, d'o\`u la convergence 
normale dans $C^*_r(\G)$.

ii) L'in\'egalit\'e $||s(T)||_2\leq ||s(S)||_2$ montre que $s(T)$ est dans 
$l^2(\G)$; $T$ a son support dans $red(X)$. Comme $s(T)$ est rationnelle, 
(i) permet de conclure.

\cqfd

\begin{remarque} Ce lemme montre que, si $a\in \lambda(\G)$ et si $m(a)$ est 
rationnelle, alors $a\in C^*_r(\G)$.
\end{remarque} 

Le deuxi\`eme lemme est g\'en\'eral sur les alg\`ebres de Banach et 
r\'esulte de la rationalit\'e des formules d'inversion par blocs \cite{GR}.

\begin{lemme}\label{rat}
Soit ${\cal A}$ une alg\`ebre de {\sc Banach}. On munit $M_n({\cal A})$ 
de la topologie produit. Si $x\in M_n({\cal A})$ est telle que 
$lim_{n\rightarrow +\infty} x^n=0$, alors\\
i) La s\'erie $\sum_{n\geq 0} x^n$ converge normalement (vers $(1-x)^{-1}$).\\
ii) Les coefficients de $(1-x)^{-1}$ sont dans la cl\^oture rationnelle de 
ceux de $x$.
\end{lemme}
\Preuve i) Cela r\'esulte de ce que $M_n({\cal A})$ est aussi une alg\`ebre de 
{\sc Banach}.\\
ii) La propri\'et\'e est trivialement vraie pour $n=1$. Pour $n\geq 2$, il 
r\'esulte de la formule
$$
\displaylines{
\left(
\matrix{
1-a_{11} & -a_{12}\cr
-a_{21} & 1-a_{22}
}
\right)^{-1}=
\left(
\matrix{
A_{11} & A_{12}\cr
A_{21} & A_{22}
}
\right)\cr
A_{11}=\bigl(1-(a_{11}+a_{12}(1-a_{22})^{-1}a_{21}\bigr)^{-1};\ 
A_{12}=(1-a_{11})^{-1}a_{12}A_{22}\cr 
A_{21}=(1-a_{22})^{-1}a_{21}A_{11}; \ 
A_{22}=\bigl(1-(a_{22}+a_{21}(1-a_{11})^{-1}a_{12}\bigr)^{-1}\cr
}
$$
o\`u $a_{ij}\in M_{d_id_j}({\cal A});\ d_1=1,\ d_2=n-1$
appliqu\'e \`a la matrice $x^n$ pour $n$ assez grand. On termine la preuve 
en remarquant que 
$$
(1-x)^{-1}=(1-x^n)^{-1}(1+x+x^2+\cdots x^{n-1})
$$
\cqfd

\medskip
\noindent
{\it Preuve de la proposition \ref{lrat} --- \ } Soit $S=m(a)$. D'apr\`es 
l'hypoth\`ese, $S$ est rationnelle dans $\C<<X\cup\bX>>$. Soit 
$(\lambda,\mu,\g)$ une repr\'esentation minimale de $S$. Posons 
$U=\sum_{x\in X\cup\bX}\mu(x)x\in M_n(\C<X+\bar X>)$ et $V=\s(U)$. 
Nous montrons 
d'abord que $lim_{m\rightarrow \infty}V^m=0$. D'apr\`es le lemme \ref{rat} i), 
il suffit de montrer que, pour tous les indices de ligne et de colonne $i,j$, 
il existe $b\in l^2(\G)$ tel que $T=m(b)$ soit rationnelle dans 
$\C<<X\cup\bX>>$ et que $(V^m)_{ij}=b_m$. Mais, comme 
$(\lambda,\mu,\g)$ est minimale, le Th. \ref{bidec} entraine que

\begin{equation}\label{coeffmat}
(\mu(w))_{i,j}=\sum_{k,l}\theta_{i,j}^{k,l}(u_k\circ S\circ u_l,w)=
\sum_{k,l}\theta_{i,j}^{k,l}(S,u_lwu_k)
\end{equation}

Donc le support de $S_{ij}=\sum_{w\in (X\cup\bX)^*}(\mu(w))_{i,j}w$ est 
form\'e de mots r\'eduits et donc $\mu(w)=0$ si $w$ n'est pas r\'eduit. Par 
suite
$$
V^m=\s(U)^m=\s(U^m)=\s(\sum_{w\in (X\cup\bX)^m}\mu(w)w)
=\s(\sum_{w\in (X\cup\bX)^m\cap red(X)}\mu(w)w)
$$
et $(V^m)_{ij}=b_m$ avec $b=s(T)$ et $T=S_{ij}$; en effet, l'\'equation 
\ref{coeffmat} montre de plus que $T$ est combinaison lin\'eaire de 
d\'ecal\'ees de $S$ et donc que $s(T)$ est dans $l^2(\G)$ (par application 
du lemme \ref{croiss} ii), et que $T$ et rationnelle.

Comme $lim_{m\rightarrow \infty}V^m=0$, le lemme \ref{rat} implique que 
$1-V$ est inversible dans $M_n((C^*_r(\G))_1)$ et que les coefficients de 
$(1-V)^{-1}$ sont dans $(C^*_r(\G))_1$. Par ailleurs, 
$\sum_{m\geq 0}U^m$ ne comporte que des mots r\'eduits, donc 
$\s(\sum_{m\geq 0}U^m)=\sum_{m\geq 0}V^m=(1-V)^{-1}$. Enfin, $S$ est 
combinaison lin\'eaire des $S_{ij}=(\sum_{m\geq 0}U^m)_{ij}$ donc $a=\s(S)$ 
est combinaison lin\'eaire de coefficients de $(1-V)^{-1}$, ce qui montre que 
$a$ est dans $(C^*_r(\G))_1$.

\cqfd

{\it Fin de la preuve du Th\'eor\`eme \ref{conj} --- \ } Si 
$a\in (C^*_r(\G))_{fin}$, $S=m(a)$ est rationnelle d'apr\`es la proposition 
\ref{alg}. De plus, $a(\ep_1)$ est dans $l^2(\G)$, il suffit donc d'appliquer 
la proposition \ref{lrat}.

\cqfd

\section{Application aux s\'eries de Malcev-Neumann}

Si le groupe libre $\G$ est muni d'un ordre total compatible avec sa 
structure de groupe, l'ensemble $k((\G))$ des s\'eries sur $\G$ dont le 
support est bien ordonn\'e, est un corps (voir \cite{P} Th. 2.11). Un 
\'el\'ement $a\in k((\G))$ est dit {\it rationnel} s'il appartient \`a la 
cl\^oture rationnelle de $\G$ dans $k((\G))$. L'ensemble des \'el\'ements 
rationnels de $k((\G))$ s'identifie au {\it corps libre} (voir \cite{Co,L}). 
Rappellons que toute s\'erie sur le groupe libre d\'efinit un op\'erateur 
$\H\rightarrow \bar\H$ (cf. \ref{ratred}). Nous montrons dans cette section 
que le crit\`ere d' {\sc A. Connes} ci-dessus permet aussi de caract\'eriser 
les 
\'el\'ements rationnels de $k((\G))$.

\begin{theoreme} Un \'el\'ement $a$ de $k((\G))$ est rationnel si et seulement 
si l'op\'erateur $[F,a]$ est de rang fini.
\end{theoreme}
\Preuve La n\'ecessit\'e de la condition s'\'etablit comme dans la preuve 
Th. \ref{conj}. R\'eciproquement, si $[F,a]$ est de rang fini, nous savons 
par la Prop. \ref{alg} que $S=m(a)$ est une s\'erie rationnelle dans 
$k<<X\cup\bX>>$. Soit $(\lambda,\mu,\g)$ une repr\'esentation minimale 
de $S$. D'apr\`es la formule \ref{coeffmat} de \ref{final}, chacune des 
s\'eries $S_{ij}=\sum_{w\in (X\cup\bX)^*}(\mu(w))_{ij}w$ ne comporte que des 
mots r\'eduits; donc $a_{ij}=s(S_{ij})$ est bien d\'efini, et la m\^eme 
formule montre que son support est une partie bien ordonn\'ee de $\G$. De 
plus, dans $k<<X\cup\bX>>$, la matrice $(S_{ij})_{ij}$ est l'inverse de 
$1-\sum_{x\in X\cup\bX}\mu(x)x$, donc la matrice $(a_{ij})_{ij}$ est 
l'inverse de cette m\^eme matrice vue comme \'el\'ement de $k((\G))$. 
Comme, dans un corps, les coefficients d'une matrice sont dans la cl\^oture 
rationnelle des coefficients de l'inverse de cette matrice (voir les formules 
dans la preuve du Lemme \ref{rat}), les $a_{ij}$ sont des \'el\'ements 
rationnels de 
$k((\G))$. Enfin, nous avons $S=\sum_{ij}\lambda_i S_{ij} \g_j$, donc 
$a=\sum_{ij}\lambda_i a_{ij} \g_j$, par application de $s$, et $a$ est 
rationnel.

\cqfd

La preuve ci-dessus red\'emontre un r\'esultat du \`a 
{\sc Fliess} \cite{F1} (voir aussi {\sc Cauchon} \cite{Cau}). 
Pour cela, nous supposons que tout \'el\'ement $x$ de $X$ est $>1$ dans $\G$; 
alors $k<<X>>$ est une sous-alg\`ebre de $k((\G))$, car $X^*$ est une partie 
bien ordonn\'ee de $\G$.

\begin{corollaire} Si une s\'erie formelle dans $k<<X>>$ est rationnelle dans 
$k((\G))$, elle est rationnelle dans $k<<X>>$.
\end{corollaire}

\newpage
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