Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Groupes à un paramètre, combinatoire et calcul formel

Présenté par: Hayat Cheballah

Institut Galilée - Université Paris 13 - France

8 juin 2008

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Plan de la présentation

1 Introduction

Objectifs

Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

2 Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

3 Approximation des matrices de substitution

4 Etude probabiliste

5 Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

6 Conclusion et perspectives

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Outline

1 Introduction

Objectifs

Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

2 Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

3 Approximation des matrices de substitution

4 Etude probabiliste

5 Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

6 Conclusion et perspectives

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Motivation et objectifs.

Le but de ce travail est la résolution de problèmes de la physique quantique par des méthodes combinatoires

⇛ Définir un cadre formel rigoureux.

Nous nous interessons aux problèmes de physique quantique et plus particulièrement à la combinatoire des opérateurs de création et d’annihilation

⇛ Ce cas précis donne naissance à des structures infinies qui peuvent être traitées en informatique.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Motivation et objectifs.

Le but de ce travail est la résolution de problèmes de la physique quantique par des méthodes combinatoires

⇛ Définir un cadre formel rigoureux.

Nous nous interessons aux problèmes de physique quantique et plus particulièrement à la combinatoire des opérateurs de création et d’annihilation

⇛ Ce cas précis donne naissance à des structures infinies qui peuvent être traitées en informatique.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Outline

1 Introduction

Objectifs

Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

2 Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

3 Approximation des matrices de substitution

4 Etude probabiliste

5 Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

6 Conclusion et perspectives

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Opérateurs de création et d’annihilation bosoniques

Définitions

1 Opérateur d’annihilation Opérateur qui fait passer un système à N (avec N ≥ 1) particules à N − 1 particules

2 Opérateur de création Opérateur qui fait passer un système à N particules à N + 1 particules.

ces opérateurs obeissent à la relation de commutation :

[a, a^{†}] = 1

⇛ Une nouvelle règle de reécriture

aa^{†} ⟶ 1 + a^{†}a

Forme normale

N (w(a, a^{†})) = ∑_{i,j}λ_{ij}(a^{†})^{i}a^{j}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Opérateurs de création et d’annihilation bosoniques

Définitions

1 Opérateur d’annihilation Opérateur qui fait passer un système à N (avec N ≥ 1) particules à N − 1 particules

2 Opérateur de création Opérateur qui fait passer un système à N particules à N + 1 particules.

ces opérateurs obeissent à la relation de commutation :

[a, a^{†}] = 1

⇛ Une nouvelle règle de reécriture

aa^{†} ⟶ 1 + a^{†}a

Forme normale

N (w(a, a^{†})) = ∑_{i,j}λ_{ij}(a^{†})^{i}a^{j}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Exemple

Soit le mot w = a^{†}aa^{†}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Représentation matricielle de la forme normale de w = a^{†}aa^{†}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 6 & 18 & 9 & 1 & 0 & 0 & ⋯ \\ 24 & 96 & 72 & 16 & 1 & 0 & ⋯ \\ 120 & 600 & 600 & 200 & 25 & 1 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... \end{matrix} )

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Outline

1 Introduction

Objectifs

Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

2 Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

3 Approximation des matrices de substitution

4 Etude probabiliste

5 Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

6 Conclusion et perspectives

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Retour sur la forme normale

Motivation

Non commutativité des opérateurs de création d’annihilation ⟹ Problème de définition des fonctions d’opérateurs en mécanique quantique.

⟹ Définir la forme normalement ordonnée

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Forme normale des mots de Bosons

Soit w ∈ {a, a^{†}}^{∗} un mot de Bosons et définissons r = |w|_{a^{†}} et s = |w|_{a}.

La forme normale de w^{n} est :

N (w^{n}) = ∑_{k=0}^{nm}S_{w}(n, nm − k)(a^{†})^{nr−k}a^{ns−k}

Avec m = min(r, s) S_{w} est la généralisation des nombres de Stirling de seconde espèce.

⟺ N (w^{n})=\{ \begin{matrix}(a^{†})^{ne}( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k}), & si e ≥ 0 ; \\ ( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k})a^{n|e|}, & sinon. \end{matrix}

Où e = r − s représente l’excès.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Forme normale des mots de Bosons

Soit w ∈ {a, a^{†}}^{∗} un mot de Bosons et définissons r = |w|_{a^{†}} et s = |w|_{a}.

La forme normale de w^{n} est :

N (w^{n}) = ∑_{k=0}^{nm}S_{w}(n, nm − k)(a^{†})^{nr−k}a^{ns−k}

Avec m = min(r, s) S_{w} est la généralisation des nombres de Stirling de seconde espèce.

⟺ N (w^{n})=\{ \begin{matrix}(a^{†})^{ne}( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k}), & si e ≥ 0 ; \\ ( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k})a^{n|e|}, & sinon. \end{matrix}

Où e = r − s représente l’excès.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Forme normale des mots de Bosons

Soit w ∈ {a, a^{†}}^{∗} un mot de Bosons et définissons r = |w|_{a^{†}} et s = |w|_{a}.

La forme normale de w^{n} est :

N (w^{n}) = ∑_{k=0}^{nm}S_{w}(n, nm − k)(a^{†})^{nr−k}a^{ns−k}

Avec m = min(r, s) S_{w} est la généralisation des nombres de Stirling de seconde espèce.

⟺ N (w^{n})=\{ \begin{matrix}(a^{†})^{ne}( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k}), & si e ≥ 0 ; \\ ( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k})a^{n|e|}, & sinon. \end{matrix}

Où e = r − s représente l’excès.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Forme normale des mots de Bosons

Soit w ∈ {a, a^{†}}^{∗} un mot de Bosons et définissons r = |w|_{a^{†}} et s = |w|_{a}.

La forme normale de w^{n} est :

N (w^{n}) = ∑_{k=0}^{nm}S_{w}(n, nm − k)(a^{†})^{nr−k}a^{ns−k}

Avec m = min(r, s) S_{w} est la généralisation des nombres de Stirling de seconde espèce.

⟺ N (w^{n})=\{ \begin{matrix}(a^{†})^{ne}( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k}), & si e ≥ 0 ; \\ ( ∑_{k=0}^{∞}S_{w}(n, k)(a^{†})^{k}(a)^{k})a^{n|e|}, & sinon. \end{matrix}

Où e = r − s représente l’excès.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Exemples

Exemple 1w = a^{†}aaa^{†}a^{†}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 12 & 60 & 54 & 14 & 1 & 0 & 0 & ⋯ \\ 144 & 1296 & 2232 & 1296 & 306 & 30 & 1 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... \end{matrix} )

Exemple 2 w = a^{†}a

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 7 & 6 & 1 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... \end{matrix} )

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Exemples

Exemple 1w = a^{†}aaa^{†}a^{†}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 12 & 60 & 54 & 14 & 1 & 0 & 0 & ⋯ \\ 144 & 1296 & 2232 & 1296 & 306 & 30 & 1 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... \end{matrix} )

Exemple 2 w = a^{†}a

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 7 & 6 & 1 & 0 & ⋯ \\ 0 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... \end{matrix} )

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Remarques générales

Remarque

Dans chaque cas, la matrice S_{w} a la forme en escalier et chaque "marche" dépend du nombre d’opérateurs d’annihilation a dans le mot. Ainsi toutes les matrices sont finies par ligne et unitriangulaires si et seulement s = 1. Récapitulatif

Soit w = (a^{†})^{r−p}a(a^{†})^{p}

1 Si p = 0, la matrice associée S_{w} est une matrice unipotente

de substitution 2 Si p > 0, S_{w} est une matrice unipotente de substitution avec

préfonction

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Remarques générales

Remarque

Dans chaque cas, la matrice S_{w} a la forme en escalier et chaque "marche" dépend du nombre d’opérateurs d’annihilation a dans le mot. Ainsi toutes les matrices sont finies par ligne et unitriangulaires si et seulement s = 1. Récapitulatif

Soit w = (a^{†})^{r−p}a(a^{†})^{p}

1 Si p = 0, la matrice associée S_{w} est une matrice unipotente

de substitution 2 Si p > 0, S_{w} est une matrice unipotente de substitution avec

préfonction

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Remarques générales

Remarque

Dans chaque cas, la matrice S_{w} a la forme en escalier et chaque "marche" dépend du nombre d’opérateurs d’annihilation a dans le mot. Ainsi toutes les matrices sont finies par ligne et unitriangulaires si et seulement s = 1. Récapitulatif

Soit w = (a^{†})^{r−p}a(a^{†})^{p}

1 Si p = 0, la matrice associée S_{w} est une matrice unipotente

de substitution 2 Si p > 0, S_{w} est une matrice unipotente de substitution avec

préfonction

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Propriétés

S_{w} ∈ UT (ℕ, ℂ) ⊂ LT^{×}(ℕ, ℂ) ⊂ LT (ℕ, ℂ) ⊂ L(ℂ^{ℕ}) ≃ ℂ^{(ℕ)} ⊂ ℂ^{ℕ×ℕ} avec

UT (ℕ, ℂ) est l’ensemble des matrices unipotentes. LT (ℕ, ℂ)^{×} est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de LT (ℕ, ℂ). LT (ℕ, ℂ) est l’algèbre des matrices triangulaires inférieures. L(ℂ^{ℕ}) l’algèbre des endomorphismes continus dans ℂ^{ℕ}. ℂ^{(ℕ)} le sous espace vectoriel de ℂ^{ℕ×ℕ} des matrices dont les lignes sont à support fini. ℂ^{ℕ×ℕ} est l’espace vectoriel des matrices infinies (M_{n,k})_{n∈ℕ,k∈ℕ}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Il a été prouvé (G. Duchamp et al.,2003) que pour tout mot w ∈ {a, a^{†}}^{∗} avec un seul opérateur d’annihilation, qu’il existe deux séries formelles g(x) et ϕ(x) avec [1]g(x) = 1 et [x]ϕ(x) = 1 tel que

∑_{n≥0}S_{w}(n, k)\frac{x^{n}}{n!} = g(x)\frac{ϕ(x)^{k}}{k!}

Soit M une matrice unipotente. Pour tout k ∈ ℕ, la fonction génératrice c_{k}(x) de la k^{ieme} colonne de M

c_{k}(x) = ∑_{n≥0}M(n, k)\frac{x^{n}}{n!}

Alors M est une matrice unipotente de substitution \underline{si et seulement si}, pour tout k ∈ ℕ, on a

c_{k}(x) = c_{0}(x)\frac{(\frac{c_{1}(x)}{c_{0}(x)})k}{k!}  (1)

Donc

c_{0}(x) = g(x)et \frac{c_{1}(x)}{c_{0}(x)} = ϕ(x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Il a été prouvé (G. Duchamp et al.,2003) que pour tout mot w ∈ {a, a^{†}}^{∗} avec un seul opérateur d’annihilation, qu’il existe deux séries formelles g(x) et ϕ(x) avec [1]g(x) = 1 et [x]ϕ(x) = 1 tel que

∑_{n≥0}S_{w}(n, k)\frac{x^{n}}{n!} = g(x)\frac{ϕ(x)^{k}}{k!}

Soit M une matrice unipotente. Pour tout k ∈ ℕ, la fonction génératrice c_{k}(x) de la k^{ieme} colonne de M

c_{k}(x) = ∑_{n≥0}M(n, k)\frac{x^{n}}{n!}

Alors M est une matrice unipotente de substitution \underline{si et seulement si}, pour tout k ∈ ℕ, on a

c_{k}(x) = c_{0}(x)\frac{(\frac{c_{1}(x)}{c_{0}(x)})k}{k!}  (1)

Donc

c_{0}(x) = g(x)et \frac{c_{1}(x)}{c_{0}(x)} = ϕ(x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Il a été prouvé (G. Duchamp et al.,2003) que pour tout mot w ∈ {a, a^{†}}^{∗} avec un seul opérateur d’annihilation, qu’il existe deux séries formelles g(x) et ϕ(x) avec [1]g(x) = 1 et [x]ϕ(x) = 1 tel que

∑_{n≥0}S_{w}(n, k)\frac{x^{n}}{n!} = g(x)\frac{ϕ(x)^{k}}{k!}

Soit M une matrice unipotente. Pour tout k ∈ ℕ, la fonction génératrice c_{k}(x) de la k^{ieme} colonne de M

c_{k}(x) = ∑_{n≥0}M(n, k)\frac{x^{n}}{n!}

Alors M est une matrice unipotente de substitution \underline{si et seulement si}, pour tout k ∈ ℕ, on a

c_{k}(x) = c_{0}(x)\frac{(\frac{c_{1}(x)}{c_{0}(x)})k}{k!}  (1)

Donc

c_{0}(x) = g(x)et \frac{c_{1}(x)}{c_{0}(x)} = ϕ(x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Remarque

En prenant les sous matrices [0..n]×[0..n] de l’algèbre des transformations de matrices triangulaires inférieures T (ℕ, ℂ) d’une matrice, on a un morphisme d’algèbres

τ_{n} : T (ℕ, ℂ) ⟶ M([0..n] × [0..n], ℂ)

Théorème

Soit M une matice de substitution alors M^{t} l’est aussi ∀ t ∈ ℂ

Idée de la preuve

Considérons l’ensemble des matrices à coefficients

complexes ℂ^{ℕ×ℕ} et ℂ^{[0···n]×[0···n]} l’ensemble des matrices de taille (n + 1) × (n + 1).

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Remarque

En prenant les sous matrices [0..n]×[0..n] de l’algèbre des transformations de matrices triangulaires inférieures T (ℕ, ℂ) d’une matrice, on a un morphisme d’algèbres

τ_{n} : T (ℕ, ℂ) ⟶ M([0..n] × [0..n], ℂ)

Théorème

Soit M une matice de substitution alors M^{t} l’est aussi ∀ t ∈ ℂ

Idée de la preuve

Considérons l’ensemble des matrices à coefficients

complexes ℂ^{ℕ×ℕ} et ℂ^{[0···n]×[0···n]} l’ensemble des matrices de taille (n + 1) × (n + 1).

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Remarque

En prenant les sous matrices [0..n]×[0..n] de l’algèbre des transformations de matrices triangulaires inférieures T (ℕ, ℂ) d’une matrice, on a un morphisme d’algèbres

τ_{n} : T (ℕ, ℂ) ⟶ M([0..n] × [0..n], ℂ)

Théorème

Soit M une matice de substitution alors M^{t} l’est aussi ∀ t ∈ ℂ

Idée de la preuve

Considérons l’ensemble des matrices à coefficients

complexes ℂ^{ℕ×ℕ} et ℂ^{[0···n]×[0···n]} l’ensemble des matrices de taille (n + 1) × (n + 1).

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Considérons la troncature r_{n} de ces matrices prenant la sous matrice principale supérieure gauche de dimension (n + 1) ⇛ On obtient une application linéaire

r_{n} : ℂ^{ℕ×ℕ} ⟶ ℂ^{[0···n]×[0···n]}

Considérons UT (ℕ, ℂ) l’algèbre des matrices triangulaires inférieures unipotentes et UT ([0 ⋯ n], ℂ) les matrices de taille ([0 ⋯ n] × [0 ⋯ n]) obtenues par la troncature τ_{n}.

⇛ τ_{n} : UT (ℕ, ℂ) ⟶ UT ([0 ⋯ n], ℂ)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Considérons la troncature r_{n} de ces matrices prenant la sous matrice principale supérieure gauche de dimension (n + 1) ⇛ On obtient une application linéaire

r_{n} : ℂ^{ℕ×ℕ} ⟶ ℂ^{[0···n]×[0···n]}

Considérons UT (ℕ, ℂ) l’algèbre des matrices triangulaires inférieures unipotentes et UT ([0 ⋯ n], ℂ) les matrices de taille ([0 ⋯ n] × [0 ⋯ n]) obtenues par la troncature τ_{n}.

⇛ τ_{n} : UT (ℕ, ℂ) ⟶ UT ([0 ⋯ n], ℂ)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Considérons la troncature r_{n} de ces matrices prenant la sous matrice principale supérieure gauche de dimension (n + 1) ⇛ On obtient une application linéaire

r_{n} : ℂ^{ℕ×ℕ} ⟶ ℂ^{[0···n]×[0···n]}

Considérons UT (ℕ, ℂ) l’algèbre des matrices triangulaires inférieures unipotentes et UT ([0 ⋯ n], ℂ) les matrices de taille ([0 ⋯ n] × [0 ⋯ n]) obtenues par la troncature τ_{n}.

⇛ τ_{n} : UT (ℕ, ℂ) ⟶ UT ([0 ⋯ n], ℂ)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Matrices de substitution approximées

Considérons la troncature r_{n} de ces matrices prenant la sous matrice principale supérieure gauche de dimension (n + 1) ⇛ On obtient une application linéaire

r_{n} : ℂ^{ℕ×ℕ} ⟶ ℂ^{[0···n]×[0···n]}

Considérons UT (ℕ, ℂ) l’algèbre des matrices triangulaires inférieures unipotentes et UT ([0 ⋯ n], ℂ) les matrices de taille ([0 ⋯ n] × [0 ⋯ n]) obtenues par la troncature τ_{n}.

⇛ τ_{n} : UT (ℕ, ℂ) ⟶ UT ([0 ⋯ n], ℂ)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

On a alors le diagramme

\xymatrix{ℂ^{ℕ×ℕ} \ar[r]^{r_{n}} & ℂ^{[0···n]×[0···n]} \\ UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[u]^{J_{1}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[u]^{J_{2}}}

Remarque

UT (ℕ, ℂ)= lim_{⟵}(UT ([0 ⋯ n], ℂ))

i.e UT ([0 ⋯ n], ℂ) est la limite projective de UT (ℕ, ℂ)

Soit, pour m ≤ n deux flêches τ_{n} et τ_{m} , alors on a le système projectif

\xymatrix{UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[dr]^{τ_{m}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[d]^{τ_{mn}} \\  & UT ([0 ⋯ m], ℂ)}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

On a alors le diagramme

\xymatrix{ℂ^{ℕ×ℕ} \ar[r]^{r_{n}} & ℂ^{[0···n]×[0···n]} \\ UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[u]^{J_{1}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[u]^{J_{2}}}

Remarque

UT (ℕ, ℂ)= lim_{⟵}(UT ([0 ⋯ n], ℂ))

i.e UT ([0 ⋯ n], ℂ) est la limite projective de UT (ℕ, ℂ)

Soit, pour m ≤ n deux flêches τ_{n} et τ_{m} , alors on a le système projectif

\xymatrix{UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[dr]^{τ_{m}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[d]^{τ_{mn}} \\  & UT ([0 ⋯ m], ℂ)}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

On a alors le diagramme

\xymatrix{ℂ^{ℕ×ℕ} \ar[r]^{r_{n}} & ℂ^{[0···n]×[0···n]} \\ UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[u]^{J_{1}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[u]^{J_{2}}}

Remarque

UT (ℕ, ℂ)= lim_{⟵}(UT ([0 ⋯ n], ℂ))

i.e UT ([0 ⋯ n], ℂ) est la limite projective de UT (ℕ, ℂ)

Soit, pour m ≤ n deux flêches τ_{n} et τ_{m} , alors on a le système projectif

\xymatrix{UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[dr]^{τ_{m}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[d]^{τ_{mn}} \\  & UT ([0 ⋯ m], ℂ)}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

On a alors le diagramme

\xymatrix{ℂ^{ℕ×ℕ} \ar[r]^{r_{n}} & ℂ^{[0···n]×[0···n]} \\ UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[u]^{J_{1}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[u]^{J_{2}}}

Remarque

UT (ℕ, ℂ)= lim_{⟵}(UT ([0 ⋯ n], ℂ))

i.e UT ([0 ⋯ n], ℂ) est la limite projective de UT (ℕ, ℂ)

Soit, pour m ≤ n deux flêches τ_{n} et τ_{m} , alors on a le système projectif

\xymatrix{UT (ℕ, ℂ) \ar[r]^{τ_{n}} \ar[dr]^{τ_{m}} & UT ([0 ⋯ n], ℂ) \ar[d]^{τ_{mn}} \\  & UT ([0 ⋯ m], ℂ)}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Par (1) on a

(∀n ∈ ℕ)(τ_{n}(M)) est une matrice de substitution avec préfonction \underline{si et seulement si}

(∀k ≤ n) c_{k}(τ_{n}(M)) = c_{0}(τ_{n}(M))(\frac{(\frac{c_{1}(τ_{n}(M))}{c_{0}(τ_{n}(M))})k}{k!})

⇛ (∀n ∈ ℕ) c_{k}(τ_{n}(M)) = ⌊c_{k}(τ_{ℕ}(M))⌋_{n}

Conditions polynomiales ⇛ groupe à un paramètre.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Par (1) on a

(∀n ∈ ℕ)(τ_{n}(M)) est une matrice de substitution avec préfonction \underline{si et seulement si}

(∀k ≤ n) c_{k}(τ_{n}(M)) = c_{0}(τ_{n}(M))(\frac{(\frac{c_{1}(τ_{n}(M))}{c_{0}(τ_{n}(M))})k}{k!})

⇛ (∀n ∈ ℕ) c_{k}(τ_{n}(M)) = ⌊c_{k}(τ_{ℕ}(M))⌋_{n}

Conditions polynomiales ⇛ groupe à un paramètre.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Taille  Nb de tirages Borne des N.A Proba
[3 × 3]  300  [1 ⋯ 10]  1
[1 ⋯ 100]  1
[1 ⋯ 10000]  1
[4 × 4]  275  [1 ⋯ 10]  0.0473
[1 ⋯ 100]  0.0001
[1 ⋯ 10000]  0^{+}
[10 × 10]  1500  [1 ⋯ 10]  0.0327
[1 ⋯ 100]  0^{+}
[1 ⋯ 10000]  0^{+}

Résultat Soit r la borne des nombres aléatoires et n × n la taille de la matrice. La probabilité p_{n} d’apparition des matrices de substitutions est donnée par :

p_{n} ≤ \frac{r^{2n−3}}{r^{\frac{n(n−1)}{2}}}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Taille  Nb de tirages Borne des N.A Proba
[3 × 3]  300  [1 ⋯ 10]  1
[1 ⋯ 100]  1
[1 ⋯ 10000]  1
[4 × 4]  275  [1 ⋯ 10]  0.0473
[1 ⋯ 100]  0.0001
[1 ⋯ 10000]  0^{+}
[10 × 10]  1500  [1 ⋯ 10]  0.0327
[1 ⋯ 100]  0^{+}
[1 ⋯ 10000]  0^{+}

Résultat Soit r la borne des nombres aléatoires et n × n la taille de la matrice. La probabilité p_{n} d’apparition des matrices de substitutions est donnée par :

p_{n} ≤ \frac{r^{2n−3}}{r^{\frac{n(n−1)}{2}}}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Outline

1 Introduction

Objectifs

Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

2 Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

3 Approximation des matrices de substitution

4 Etude probabiliste

5 Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

6 Conclusion et perspectives

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Objectifs

Soit Ω un opérateur homogène (i.e.un seul opérateur d’annihilation à chaque monôme) de la forme

Ω = ∑_{|w|_{a}=1,exces=e}α_{w}w  (2)

⇛ Reconstruire les séries caractéristiques

∑_{n,k}S_{Ω}(n, k)\frac{x^{n}}{n!}y^{k}

Solution

Donner un sens au groupe à un paramètre e^{λΩ} (Opérateur d’évolution).

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Objectifs

Soit Ω un opérateur homogène (i.e.un seul opérateur d’annihilation à chaque monôme) de la forme

Ω = ∑_{|w|_{a}=1,exces=e}α_{w}w  (2)

⇛ Reconstruire les séries caractéristiques

∑_{n,k}S_{Ω}(n, k)\frac{x^{n}}{n!}y^{k}

Solution

Donner un sens au groupe à un paramètre e^{λΩ} (Opérateur d’évolution).

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Objectifs

Soit Ω un opérateur homogène (i.e.un seul opérateur d’annihilation à chaque monôme) de la forme

Ω = ∑_{|w|_{a}=1,exces=e}α_{w}w  (2)

⇛ Reconstruire les séries caractéristiques

∑_{n,k}S_{Ω}(n, k)\frac{x^{n}}{n!}y^{k}

Solution

Donner un sens au groupe à un paramètre e^{λΩ} (Opérateur d’évolution).

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Outline

1 Introduction

Objectifs

Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation Forme normalement ordonnée

2 Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

3 Approximation des matrices de substitution

4 Etude probabiliste

5 Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

6 Conclusion et perspectives

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène unipotent

Ω = (a^{†})^{r}a représentation de Bargmann Fock x^{r} \frac{d}{dx}

Redresser le champs de vecteur ⇛ Champ de vecteur constant^{a}

acf. R. P. Agarwal, V. Lakshmikantham, Uniqueness and nonuniqueness criteria for ordinary differential equations, Series in Real Analysis volume 6, World scientific (1993).

Le groupe à un paramètre (local) est U_{λ}[f ](x) = f (u^{−1}(u(x) + λ))

Un calcul direct donne le vecteur tangent

\frac{d}{dλ}|_{λ=0}f (u^{−1}(u(x) + λ)) = \frac{1}{u′(x)}f′(x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène unipotent

Ω = (a^{†})^{r}a représentation de Bargmann Fock x^{r} \frac{d}{dx}

Redresser le champs de vecteur ⇛ Champ de vecteur constant^{a}

acf. R. P. Agarwal, V. Lakshmikantham, Uniqueness and nonuniqueness criteria for ordinary differential equations, Series in Real Analysis volume 6, World scientific (1993).

Le groupe à un paramètre (local) est U_{λ}[f ](x) = f (u^{−1}(u(x) + λ))

Un calcul direct donne le vecteur tangent

\frac{d}{dλ}|_{λ=0}f (u^{−1}(u(x) + λ)) = \frac{1}{u′(x)}f′(x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène unipotent

Ω = (a^{†})^{r}a représentation de Bargmann Fock x^{r} \frac{d}{dx}

Redresser le champs de vecteur ⇛ Champ de vecteur constant^{a}

acf. R. P. Agarwal, V. Lakshmikantham, Uniqueness and nonuniqueness criteria for ordinary differential equations, Series in Real Analysis volume 6, World scientific (1993).

Le groupe à un paramètre (local) est U_{λ}[f ](x) = f (u^{−1}(u(x) + λ))

Un calcul direct donne le vecteur tangent

\frac{d}{dλ}|_{λ=0}f (u^{−1}(u(x) + λ)) = \frac{1}{u′(x)}f′(x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène

Pour trouver le difféomorphisme u ⇛ \frac{1}{u′(x)} = x^{r} r ≠ 1

u(x) = \frac{x^{1−r}}{1 − r} ⇒ u^{−1}(y) = ((1 − r)y)^{\frac{1}{1−r}}

⇛ e^{λx^{r} \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (_{\frac{x}{(1−λ(r−1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}} )

r = 1

e^{λx \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (e^{λ}x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène

Pour trouver le difféomorphisme u ⇛ \frac{1}{u′(x)} = x^{r} r ≠ 1

u(x) = \frac{x^{1−r}}{1 − r} ⇒ u^{−1}(y) = ((1 − r)y)^{\frac{1}{1−r}}

⇛ e^{λx^{r} \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (_{\frac{x}{(1−λ(r−1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}} )

r = 1

e^{λx \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (e^{λ}x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène

Pour trouver le difféomorphisme u ⇛ \frac{1}{u′(x)} = x^{r} r ≠ 1

u(x) = \frac{x^{1−r}}{1 − r} ⇒ u^{−1}(y) = ((1 − r)y)^{\frac{1}{1−r}}

⇛ e^{λx^{r} \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (_{\frac{x}{(1−λ(r−1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}} )

r = 1

e^{λx \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (e^{λ}x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène

Pour trouver le difféomorphisme u ⇛ \frac{1}{u′(x)} = x^{r} r ≠ 1

u(x) = \frac{x^{1−r}}{1 − r} ⇒ u^{−1}(y) = ((1 − r)y)^{\frac{1}{1−r}}

⇛ e^{λx^{r} \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (_{\frac{x}{(1−λ(r−1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}} )

r = 1

e^{λx \frac{d}{dx}}[f ](x) = f (e^{λ}x)

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène général

Ω = (a^{†})^{r−p}aa^{†}^{p} ⟺ x^{r−p} \frac{d}{dx}x^{p}

Ω = ∑_{r=0}^{e+1}α_{r}(a^{†})^{e+1−r}a(a^{†})^{r}

= (∑_{r=0}^{e+1}α_{r})(a^{†})^{e+1}a + (∑_{r=1}^{e+1}rα_{r})(a^{†})^{e}

= ρ(a^{†})^{e+1}a + ρ′(a^{†})^{e}

ρ = 0

⇛ Le problème de l’ordre normal est trivial N (Ω^{n}) = (ρ′)^{n}(a^{†})^{ne}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène général

Ω = (a^{†})^{r−p}aa^{†}^{p} ⟺ x^{r−p} \frac{d}{dx}x^{p}

Ω = ∑_{r=0}^{e+1}α_{r}(a^{†})^{e+1−r}a(a^{†})^{r}

= (∑_{r=0}^{e+1}α_{r})(a^{†})^{e+1}a + (∑_{r=1}^{e+1}rα_{r})(a^{†})^{e}

= ρ(a^{†})^{e+1}a + ρ′(a^{†})^{e}

ρ = 0

⇛ Le problème de l’ordre normal est trivial N (Ω^{n}) = (ρ′)^{n}(a^{†})^{ne}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène général

Ω = (a^{†})^{r−p}aa^{†}^{p} ⟺ x^{r−p} \frac{d}{dx}x^{p}

Ω = ∑_{r=0}^{e+1}α_{r}(a^{†})^{e+1−r}a(a^{†})^{r}

= (∑_{r=0}^{e+1}α_{r})(a^{†})^{e+1}a + (∑_{r=1}^{e+1}rα_{r})(a^{†})^{e}

= ρ(a^{†})^{e+1}a + ρ′(a^{†})^{e}

ρ = 0

⇛ Le problème de l’ordre normal est trivial N (Ω^{n}) = (ρ′)^{n}(a^{†})^{ne}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène général

ρ ≠ 0

⇛ Redresser le champ de vecteur ⇛ Définir le difféomorphisme u

u(x) = x^{\frac{ρ′}{ρ}}

⇛

e^{λΩ}[f ](x) = \frac{1}{x^{\frac{ρ′}{ρ}}} f (s_{λ}(x))(s_{λ}(x))^{\frac{ρ′}{ρ}}

= [\frac{(s_{λ}(x))}{x}]^{\frac{ρ′}{ρ}} f (s_{λ}(x))

avec

s_{λ}(x) = \frac{x}{(1 − λ(r − 1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène général

ρ ≠ 0

⇛ Redresser le champ de vecteur ⇛ Définir le difféomorphisme u

u(x) = x^{\frac{ρ′}{ρ}}

⇛

e^{λΩ}[f ](x) = \frac{1}{x^{\frac{ρ′}{ρ}}} f (s_{λ}(x))(s_{λ}(x))^{\frac{ρ′}{ρ}}

= [\frac{(s_{λ}(x))}{x}]^{\frac{ρ′}{ρ}} f (s_{λ}(x))

avec

s_{λ}(x) = \frac{x}{(1 − λ(r − 1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées

Approximation des matrices de substitution

Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Cas homogène général

ρ ≠ 0

⇛ Redresser le champ de vecteur ⇛ Définir le difféomorphisme u

u(x) = x^{\frac{ρ′}{ρ}}

⇛

e^{λΩ}[f ](x) = \frac{1}{x^{\frac{ρ′}{ρ}}} f (s_{λ}(x))(s_{λ}(x))^{\frac{ρ′}{ρ}}

= [\frac{(s_{λ}(x))}{x}]^{\frac{ρ′}{ρ}} f (s_{λ}(x))

avec

s_{λ}(x) = \frac{x}{(1 − λ(r − 1)x^{r−1})^{\frac{1}{r−1}}}

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Conclusion

1 Développer le cas hétérogène Ω = f (a^{†})a + g(a^{†}).

2 Etudier le cas des mots avec au moins deux opérateurs d’annihilation (i.e. matrices doublement infinies non unipotentes)

3 Package sur les groupes algébriques de matrices de substitutions approximées.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Conclusion

1 Développer le cas hétérogène Ω = f (a^{†})a + g(a^{†}).

2 Etudier le cas des mots avec au moins deux opérateurs d’annihilation (i.e. matrices doublement infinies non unipotentes)

3 Package sur les groupes algébriques de matrices de substitutions approximées.

Arithmétique en Mathéma-

tiques Informa-

tique

Introduction

Objectifs Combinatoire et opérateurs de création et d’annihilation

Forme normalement ordonnée

Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées Approximation des matrices de substitution Etude probabiliste

Groupes à un paramètre

Objectifs Résolutions

Conclusion et perspectives

Conclusion

1 Développer le cas hétérogène Ω = f (a^{†})a + g(a^{†}).

2 Etudier le cas des mots avec au moins deux opérateurs d’annihilation (i.e. matrices doublement infinies non unipotentes)

3 Package sur les groupes algébriques de matrices de substitutions approximées.