\documentclass[11pt,blue,hyperref={pdfpagemode=FullScreen}]{beamer}

\mode<presentation> {
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  {\begin{centering}
  \color{gray}
  \textbf{\insertframetitle}
  \par
  \end{centering}
  }
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}

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\input xy
\xyoption{all}
\usefonttheme{serif}
\title[ Arithmétique en Mathématiques Informatique] % (optionnel, utiliser seulement avec des titres d'articles longs)
{\emph{\textbf{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Groupes à un
paramètre, combinatoire et calcul formel}}}}

%\subtitle {Ne remplir que si l'article a un sous-titre}
\vspace{2ex}

\author []% (optionnel, utiliser seulement s'il y a beaucoup d'auteurs)
{Présenté par: \textbf{Hayat Cheballah} }%\inst{1} \and S.~Auteur2\inst{2}}
% - Mettre les noms par ordre alphabétique.
% - Utiliser l'instruction \inst{?} seulement si les auteurs ont des affiliations différentes.

\institute[Institut Galilée]{
  \textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.50}{Institut Galilée - Université Paris 13 - France}}% (optionnel, mais nécessaire la plupart du temps)




% - Utiliser l'instruction \inst{?} seulement si les auteurs ont des affiliations différentes.
% - Garder cela simple, personne n'est intéressé par votre adresse.

\date\today%[Lille 2008] % (optionnel, abbréviation du nom de la conférence)

% - Utile pour les personnes qui liront les transparents en ligne

\subject{Combinatoire}
% Inséré dans le catalogue informatif du fichier PDF. Vraiment pas obligatoire de mettre ça.


% Si vous avez un fichier "logo-filename.xxx", où xxx est un format graphique qui peut être utilisé par latex ou pdflatex,
% alors vous pouvez utiliser le logo ainsi:

%\pgfdeclareimage[height=0.5cm]{logo1}{logo1}
%\logo{\pgfuseimage{logo1}}

%POUR LE MOMENT JE GARDE LA TABLE DES MATIERES ON VERRA APRES!!
% Effacer cela si vous ne voulez pas que la table des matières apparaîsse au début de chaque section
\AtBeginSubsection[] {
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Outline}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
  \end{frame}
}

%----------------------------------------------%

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Plan de la présentation}
  \tableofcontents
  % Vous pouvez ajouter l'option [pausesections]
\end{frame}
%--------------------------------------------------------------------%

\section{Introduction}

\subsection{Objectifs}

\begin{frame}
  \frametitle{Motivation et objectifs.}
  %\framesubtitle{Les sous-titres sont optionnels.}

  % - Un titre informatif devrait résumer de façon claire la slide en question
  % - pour quelqu'un qui ne comprendrait pas ce qu'il y a ecrit dessus

  \begin{itemize}
  \item
     Le but de ce travail est la résolution de problèmes de la
     physique quantique par des méthodes combinatoires \vspace{1ex}


\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$ ] Définir un cadre formel rigoureux.\\  \vspace{0.5cm}
\end{description}
\pause
 \item Nous nous interessons aux problèmes de physique quantique et plus particulièrement à la combinatoire des
 \textbf{opérateurs de création et d'annihilation}  \vspace{1ex}

\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$ ]Ce cas précis donne naissance à des structures
infinies qui peuvent être traitées en informatique.\\
\end{description}
  \end{itemize}
\end{frame}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{Combinatoire et opérateurs de création et d'annihilation}

\begin{frame}
  \frametitle{Opérateurs de création et d'annihilation bosoniques}

\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textbf{Définitions}}
\begin{enumerate}
    \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Opérateur d'annihilation} Opérateur qui fait
    passer un système à $N$ (avec $N\geq 1$) particules à $N-1$ particules
    \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Opérateur de création} Opérateur qui fait
    passer un système à $N$ particules à $N+1$ particules.
\end{enumerate}
\end{beamerboxesrounded}
 ces opérateurs obeissent à la relation de commutation:
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}$$[a,a^\dag]=1$$\end{beamerboxesrounded}
\pause
\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$] Une nouvelle règle de reécriture
\end{description}
     \(\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{aa^\dag\longrightarrow 1+a^\dag a}}\)
     \vspace{1ex}
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textbf{Forme normale}}
\begin{eqnarray*}
  \mathcal N(w(a,a^\dag)) &=& \sum_{i,j}\lambda_{ij}(a^\dag)^i a^j
\end{eqnarray*}
\end{beamerboxesrounded}
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------------------------------

\begin{frame}
\frametitle{Exemple} Soit le mot $w=a^\dag a a^\dag$
\begin{figure}[htbp]
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics [width=4.20in, height=3.00in] {normal_form2.png}\\
\end{figure}

\end{frame}

%-------------------------------------------------------------------------------------------------------

\begin{frame}
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textbf{Représentation matricielle de la forme normale de $w=a^\dag aa^\dag$}}
$$\left(%
\begin{array}{cccccccc}
  \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots  \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{1} & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{2} & 4 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0  & \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{6} & 18 & 9 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0  & \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{24} & 96 & 72 & 16 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{120} & 600 & 600 & 200 & 25 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & \cdots \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & &\ddots \\
\end{array}%
\right)$$ \end{beamerboxesrounded}
\end{frame}

%-------------------------------------------------------------------------------------------------------



\subsection{Forme normalement ordonnée}
\begin{frame}
  \frametitle{Retour sur la forme normale }

\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Motivation}}

 Non commutativité des opérateurs de création d'annihilation
$\Longrightarrow$ Problème de définition des fonctions
d'opérateurs en mécanique quantique.
\end{beamerboxesrounded}
\begin{description}
    \item[$\Longrightarrow$] Définir la forme normalement ordonnée
\end{description}

\begin{figure}[htbp]
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics [width=4.00in, height=2.00in] {ordre_normal_memoireG.png}\\
\end{figure}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\section{Mots de Bosons et génération de matrices de Stirling généralisées}

\begin{frame}
\frametitle{Forme normale des mots de Bosons}
 Soit $w\in\{a,a^\dag\}^*$ un mot de
Bosons et définissons $r=|w|_{a^\dag}$ et $s=|w|_a$. \pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
 La forme normale de $w^n$ est:
$$\mathcal N(w^n)=\sum_{k=0}^{nm} S_w(n,nm-k) (a^\dag)^{nr-k} a^{ns-k}$$
\end{beamerboxesrounded}
\pause
 Avec
\begin{itemize}
    \item $m=\min(r,s)$
    \item $S_w$ est la généralisation des
nombres de Stirling de seconde espèce. \vspace{1ex}
\end{itemize}
\pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
\textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.50}{$\Longleftrightarrow$} $ \mathcal N(w^n)$=$\left\{%
\begin{array}{ll}
   (a^\dag)^{ne}\Big(\sum_{k=0}^\infty
S_w(n,k)(a^\dag)^k(a)^k\Big) , & \hbox{si $e\geq 0$;} \\
 \Big(\sum_{k=0}^\infty
S_w(n,k)(a^\dag)^k(a)^k\Big)a^{n|e|}   , & \hbox{sinon.} \\
\end{array}%
\right.$
\end{beamerboxesrounded}





Où $e=r-s$ représente l'excès.
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\begin{frame}
\frametitle{Exemples}
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Exemple $1$}$w=a^\dag a a a^\dag a^\dag$}
  $$\left(%
\begin{array}{cccccccc}
  \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  & \cdots  \\
  2 & 4 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0  &  \cdots \\
  12 & 60 & 54 & 14 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0  &  \cdots \\
  144 & 1296 & 2232 & 1296 & 306 & 30 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} &   \cdots \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & &\ddots \\
\end{array}%
\right)$$ \end{beamerboxesrounded} \pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Exemple $2$} $w=a^\dag a $}
  $$\left(%
\begin{array}{ccccccc}
  \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{0} & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{0} & 1 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{0} & 1 & 3 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 & 0 & \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{0} & 1 & 7 & 6 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} & 0 &  \cdots \\
  \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{0} & 1 & 15 & 25 & 10 & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1} &  \cdots \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & &\ddots \\
\end{array}%
\right)$$ \end{beamerboxesrounded}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%



\begin{frame}
\frametitle{Remarques générales}
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Remarque}}
\vspace{1ex}
 Dans chaque cas, la matrice $S_w$ a la forme en escalier et
chaque \textit{"marche"} dépend du nombre d'opérateurs
d'annihilation $a$ dans le mot. Ainsi toutes les matrices sont
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{finies par ligne} et
unitriangulaires si et seulement
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$s=1$}.
\end{beamerboxesrounded}
\pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{Récapitulatif} }
 \vspace{1ex}
Soit $w=(a^\dag)^{r-p}a (a^\dag)^p$
\begin{enumerate}
    \item Si \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{$p=0$}, la matrice associée $S_w$
     est une \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{matrice unipotente de substitution}
    \pause
    \item Si \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{$p>0$}, $S_w$ est une
    \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{matrice unipotente de substitution avec préfonction}
\end{enumerate}
\end{beamerboxesrounded}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%


\begin{frame}
\frametitle{Propriétés}
$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{S_w\in}\quad \mathcal{UT}(\mathbb
N,\mathbb C)\subset\mathcal{LT}^\times (\mathbb N,\mathbb
C)\subset\mathcal{LT} (\mathbb N,\mathbb C)\subset\mathcal
L(\mathbb C^{\mathbb N})\simeq \mathbb C^{(\mathbb
N)}\subset\mathbb C^{\mathbb N\times\mathbb N}$\\ avec \pause
\begin{itemize}
    \item $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\mathcal{UT} (\mathbb N,\mathbb C)}$  est l'ensemble
    des matrices unipotentes.
    \pause
    \item $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\mathcal {LT}(\mathbb  N,\mathbb C)^{\times}}$ est le groupe
    multiplicatif des éléments inversibles de $\mathcal{LT} (\mathbb N,\mathbb
    C)$.
    \pause
    \item $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\mathcal{LT} (\mathbb N,\mathbb C)}$ est l'algèbre des
    matrices triangulaires inférieures.
    \pause
    \item $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\mathcal L(\mathbb C^{\mathbb N})}$ l'algèbre des
    endomorphismes continus dans $\mathbb C^{\mathbb N}$.
    \pause
    \item $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\mathbb C^{(\mathbb N)}}$ le sous espace
    vectoriel de $\mathbb C^{\mathbb N\times\mathbb N}$ des
    matrices dont les lignes sont à support fini.
    \pause
    \item$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\mathbb C^{\mathbb N\times\mathbb N}}$ est l'espace
    vectoriel des matrices infinies $(M_{n,k})_{n\in\mathbb N, k\in\mathbb N}$
\end{itemize}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\section{Approximation des matrices de substitution}
\begin{frame}
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
Il a été prouvé (\textit{G. Duchamp et al.,2003}) que pour tout
mot $w\in\{a,a^\dag\}^*$ avec un seul opérateur d'annihilation,
qu'il existe deux séries formelles
$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{g(x)}$ et
$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\phi(x)}$ avec $[1]g(x)=1 \hbox{
et }[x]\phi(x)=1$ tel que \end{beamerboxesrounded}
 \pause
\vspace{1ex}
\(\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\sum_{n\geq
0}S_w(n,k)\frac{x^n}{n!}=g(x)\frac{\phi(x)^k}{k!}}}\) \pause\\
Soit $\mathcal M$ une matrice unipotente. Pour tout $k\in\mathbb
N$, la fonction génératrice $c_k(x)$ de la $k^{ieme}$ colonne de
$\mathcal M$ \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$$c_k(x)=\sum_{n\geq
0}\mathcal M(n,k)\frac{x^n}{n!}$$} Alors $\mathcal M$ est une
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{matrice unipotente de
substitution} \underline{si et seulement si}, pour tout
$k\in\mathbb N$, on a
\begin{eqnarray}\label{cnd}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{c_k(x)}
&\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{=}&
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{c_0(x)\frac{\Big(\frac{c_1(x)}{c_0(x)}\Big)^k}{k!}}
\end{eqnarray}
Donc
$$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{c_0(x)=g(x)}\hbox{ et }
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\frac{c_1(x)}{c_0(x)}=\phi(x)}$$

\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%


\begin{frame}
\frametitle{Matrices de substitution approximées}
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Remarque}}
\vspace{1ex} En prenant les sous matrices $[0..n]\times [0..n]$ de
l'algèbre des transformations de matrices triangulaires
inférieures \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$\mathcal T(\mathbb
N,\mathbb C)$} d'une matrice, on a
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{un morphisme d'algèbres}
\\
 \vspace{2ex}
\(\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\tau_n:\mathcal
T(\mathbb N,\mathbb C)\longrightarrow \mathcal M([0..n]\times
[0..n],\mathbb C)}}\)

\end{beamerboxesrounded}
\pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{Théorème} }
\vspace{1ex} Soit $\mathcal M$ une matice de substitution alors
$\mathcal M^t$ l'est aussi $\forall\quad t\in\mathbb C$
\end{beamerboxesrounded}
\pause \textsc{\textbf{Idée de la preuve}}

\begin{itemize}
    \item Considérons l'ensemble des matrices à coefficients
    complexes \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{$\mathbb C^{\mathbb N\times\mathbb
    N}$} et   \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{$\mathbb C^{[0\cdots n]\times [0\cdots
    n]}$} l'ensemble des matrices de taille $(n+1)\times (n+1)$.

\end{itemize}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\begin{frame}
\frametitle{Matrices de substitution approximées}
\begin{itemize}
      \item Considérons la troncature $r_n$ de ces matrices prenant
    la sous matrice principale supérieure gauche de dimension $(n+1)$
    \pause \textcolor[rgb]{0.75,0.75,0.75}{$\Rrightarrow$} On
        obtient une application linéaire\\
         \vspace{2ex}
\(\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{r_n:\mathbb
C^{\mathbb N\times\mathbb N}\longrightarrow \mathbb C^{[0\cdots
n]\times [0\cdots n]}}}\) \vspace{1ex} \pause
    \item  Considérons \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{$\mathcal U \mathcal
    T(\mathbb N,\mathbb C)$} l'algèbre des matrices triangulaires inférieures unipotentes et
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{$\mathcal U\mathcal T([0\cdots
n],\mathbb C)$} les matrices de taille $([0\cdots n]\times
[0\cdots n])$ obtenues par la troncature $\tau_n$.\\\vspace{1ex}
    \pause \textcolor[rgb]{0.75,0.75,0.75}{$\Rrightarrow$}
\(\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{~~~~~~~~\boxed{\tau_n:\mathcal
U\mathcal T(\mathbb N ,\mathbb C)\longrightarrow \mathcal
U\mathcal T([0\cdots n],\mathbb C)}}\)
\end{itemize}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item On a alors le diagramme
\end{itemize}
\pause
$$
\xymatrix@C=50pt{
\mathbb C^{\mathbb N\times\mathbb N}\ar[r]^{r_n}& \mathbb C^{[0\cdots n]\times [0\cdots n]} \\
 \mathcal U\mathcal
T(\mathbb N ,\mathbb C)\ar[r]^{\tau_n}\ar[u]^{\mathcal J_1} &
\mathcal U\mathcal T([0\cdots n],\mathbb C)\ar[u]^{\mathcal J_2} }
$$
\pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Remarque} }

$$  \mathcal U\mathcal T(\mathbb N,\mathbb C)
\displaystyle{=\lim_{\longleftarrow}} (\mathcal U\mathcal
T([0\cdots n],\mathbb C))$$
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{\textit{i.e}} $\mathcal U\mathcal
T([0\cdots n],\mathbb C)$ est la limite projective de $ \mathcal
U\mathcal T(\mathbb N,\mathbb C)$
\end{beamerboxesrounded}
\pause
\begin{itemize}
\item  Soit, pour $m\leq n$ deux flêches $\tau_n$ et $\tau_m$ ,
alors on a le système projectif
\end{itemize}
$$
\xymatrix@C=50pt{ \mathcal
   {UT}(\mathbb N,\mathbb C)\ar[r]^{\tau_n}\ar[rd]^{\tau_m} & \mathcal{UT}([0\cdots n],\mathbb C)\ar[d]^{\tau_{mn}}
   \\ &\mathcal{UT}([0\cdots m],\mathbb C)}
$$
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Par \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{(\ref{cnd})} on a

$(\forall n\in \mathbb N)(\tau_n(\mathcal M))$ est une
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{matrice de substitution avec
préfonction} \underline{si et seulement si}
$$(\forall k\leq n)\quad c_k(\tau_n(\mathcal M))=
c_0(\tau_n(\mathcal M))\Big(\frac{\Big(\frac{c_1(\tau_n(\mathcal
M))}{c_0(\tau_n(\mathcal M))}\Big)^k}{k!}\Big)$$
\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$]
     $(\forall n\in\mathbb N)\quad c_k(\tau_n(\mathcal M))=\Big\lfloor c_k(\tau_{\mathbb N}(\mathcal M))\Big\rfloor_n$
\end{description}
\pause
 \item Conditions polynomiales
\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$] \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{groupe à un paramètre}.
    \end{description}

\end{itemize}

\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\section{Etude probabiliste}
\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c||c||c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{Taille} & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{Nb de tirages}
   & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{Borne des N.A} & \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{Proba} \\
  \hline
  \hline
  \hline
   $[3\times 3]$& $300$  & $[1\cdots 10]$ & $1$  \\
   \cline{3-4}
     &  & $[1\cdots 100]$ & $1$ \\
   \cline{3-4}
   &  &$[1\cdots 10000]$ & $1$ \\   \hline
   \hline
   \hline
   $[4\times 4]$& $275$ &  $[1\cdots 10]$ & $0.0473$  \\
   \cline{3-4}
     &  & $[1\cdots 100]$ & $0.0001$ \\
   \cline{3-4}
   &  &$[1\cdots 10000]$ & $0^+$ \\ \hline
   \hline
   \hline
   $[10\times 10]$& $1500$ &  $[1\cdots 10]$ & $0.0327$ \\
   \cline{3-4}
     &  & $[1\cdots 100]$ & $0^+$ \\
   \cline{3-4}
   &  &$[1\cdots 10000]$ & $0^+$ \\
   \hline

\end{tabular}\end{center}

\pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur,
shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Résultat}}
 Soit
$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{r}$ la borne des nombres
aléatoires et $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{n\times n}$ la
taille de la matrice. La probabilité
$\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{p_n}$ d'apparition   des matrices
de substitutions est donnée par:
$$ \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{ p_{n} \leq \frac{r^{2n-3}}{r^{\frac{n(n-1)}{2}}}}$$
\end{beamerboxesrounded}

\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\section{Groupes à un paramètre}
\subsection{Objectifs}
\begin{frame}
\frametitle{Objectifs}
   \begin{itemize}
     \item
       Soit  $\Omega$ un opérateur homogène (\textit{i.e.}un seul opérateur d'annihilation à chaque monôme) de la forme
         \begin{eqnarray}
           % \nonumber to remove numbering (before each equation)
            \Omega &=& \sum_{|w|_a=1, exces=e}\alpha_w w
         \end{eqnarray}
    \end{itemize}
    \pause
\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$ ]Reconstruire les séries caractéristiques
\end{description}
$$\sum_{n,k}S_\Omega (n,k)\frac{x^n}{n!}y^k$$

\pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Solution} }
Donner un sens au \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{groupe à un
paramètre} $e^{\lambda\Omega}$ (Opérateur d'évolution).
\end{beamerboxesrounded}

\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{Résolutions}
\begin{frame}
\frametitle{Cas homogène unipotent}

\(\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{~~\boxed{\Omega={(a^\dag)}^r
a}}\) représentation de Bargmann
Fock\(\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{~~\boxed{
x^r\frac{d}{dx}}}\)

\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
\begin{itemize}
    \item Redresser le champs de vecteur
    \textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.50}{$\Rrightarrow$} Champ de vecteur
    constant\footnote{\textit{cf.  \textsc{R. P. Agarwal, V. Lakshmikantham},
 \textsf{Uniqueness and nonuniqueness criteria for ordinary
differential equations}, \emph{Series in Real Analysis volume 6},
World scientific (1993).}}
\end{itemize}

\end{beamerboxesrounded}


\pause
 Le groupe à un paramètre (local) est \vspace{1ex}
\(\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{U_\lambda[f](x)=f(u^{-1}(u(x)+\lambda))}}\)
\pause

 Un calcul direct donne le vecteur tangent

\(\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{~~~~~~~~~~~~\boxed{
\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}f(u^{-1}(u(x)+\lambda)) =
  \frac{1}{u'(x)}f'(x)}}\)

\end{frame}


%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%
\begin{frame}
\frametitle{Cas homogène }

  \pause
  Pour trouver  le difféomorphisme $u$ \textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{$\Rrightarrow \frac{1}{u'(x)}=x^r$
  }
  \begin{itemize}
    \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$r\neq 1$}
\end{itemize}
    \begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
         \begin{eqnarray*}
    % \nonumber to remove numbering (before each equation)
      u(x)= \frac{x^{1-r}}{1-r} &\Rightarrow& u^{-1}(y)=((1-r)y)^{\frac{1}{1-r}}
    \end{eqnarray*}
    \pause
\textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.50}{$\Rrightarrow\quad\quad\quad\quad$}$e^{\lambda
x^r\frac{d}{dx}}[f](x) =
f\Big(\frac{x}{(1-\lambda(r-1)x^{r-1})^{\frac{1}{r-1}}}\Big)$
     \end{beamerboxesrounded}
     \pause
     \begin{itemize}
    \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$r= 1$}
  \end{itemize}
        \begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
$$  e^{\lambda x\frac{d}{dx}}[f](x) = f(e^\lambda x)$$
            \end{beamerboxesrounded}

\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\begin{frame}
\frametitle{Cas homogène général}

\(\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\Omega={(a^\dag)}^{r-p}
a{a^\dag}^p \quad\Longleftrightarrow\quad
x^{r-p}\frac{d}{dx}x^p}}\)\vspace{1ex} \pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
\begin{eqnarray*}
  \Omega &=& \sum_{r=0}^{e+1}\alpha_r(a^\dag)^{e+1-r}a(a^\dag)^r \\
    &=& (\sum_{r=0}^{e+1}\alpha_r)(a^\dag)^{e+1}a+(\sum_{r=1}^{e+1}r\alpha_r)(a^\dag)^e \\
    &=& \rho (a^\dag)^{e+1}a+\rho'(a^\dag)^e
\end{eqnarray*}
\end{beamerboxesrounded}
\pause
 \begin{itemize}
 \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$\rho=0$}
 \begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$] Le problème de l'ordre normal est
    trivial $\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.98}{\mathcal N(\Omega^n)=(\rho')^n(a^\dag)^{ne}}$
 \end{description}
 \end{itemize}
\end{frame}

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\begin{frame}
\frametitle{Cas homogène général}
\begin{itemize}
 \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$\rho\neq 0$}
\begin{description}
    \item[$\Rrightarrow$] Redresser le champ de vecteur
    $\textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.50}{\Rrightarrow}$ Définir le
    difféomorphisme $u$
\end{description}
 \end{itemize}
 \pause
\begin{beamerboxesrounded}[scheme=macouleur, shadow=true]{}
$$u(x)=x^{\frac{\rho'}{\rho}}$$
$\textcolor[rgb]{0.50,0.50,0.50}{\Rrightarrow}$
\begin{eqnarray*}
            % \nonumber to remove numbering (before each equation)
              e^{\lambda\Omega}[f](x) &=& \frac{1}{x^{\frac{\rho'}{\rho}}}f(s_\lambda(x))(s_\lambda(x))^{\frac{\rho'}{\rho}} \\
               &=& \Big[\frac{(s_\lambda(x))}{x}\Big]^{\frac{\rho'}{\rho}}f(s_\lambda(x))
            \end{eqnarray*}
\end{beamerboxesrounded}
\pause avec \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$$s_\lambda
            (x)=\frac{x}{(1-\lambda(r-1)x^{r-1})^{\frac{1}{r-1}}}$$}

\end{frame}




%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

\section{Conclusion et perspectives}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusion}
\begin{enumerate}
    \item Développer le cas hétérogène
    \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{$\Omega=f(a^\dag)a+g(a^\dag)$}.
    \vspace{1ex}
    \pause
    \item Etudier le cas des mots avec au moins deux opérateurs
    d'annihilation (\textit{i.e.} matrices doublement infinies non unipotentes)
\vspace{1ex} \pause \item Package sur les groupes algébriques de
matrices de substitutions approximées.
\end{enumerate}
\end{frame}

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\end{document}
