Groupes de Galois d’équations différentielles non-commutatives et équation de Drinfel’d

Matthieu Deneufchâtel

Laboratoire d’Informatique de Paris Nord, Université Paris 13

Séminaire CIP, 18 octobre 2011

Outline

Rappels : X = {x_{1}, …, x_{n}}. P_{w} = \{ \begin{matrix}x_{i} & if w = x_{i}; \\ [l_{1}, l_{2}] & if w is a Lyndon word with standard factorization l_{1}l_{2}; \\ P_{l_{i_{1}}}^{α_{1}} … P_{l_{i_{k}}}^{α_{k}} & if w = l_{i_{1}}^{α_{1}} … l_{i_{k}}^{α_{k}}, l_{i_{1}} > ⋯ > l_{i_{k}}. \end{matrix}

S_{w} = \{ \begin{matrix}w & if |w| = 1; \\ xS_{u} & if w = xu and w is a Lyndon word; \\ \frac{S_{l_{i_{1}}}^{α_{1}} … S_{l_{i_{k}}}^{α_{k}}}{α_{1}! … α_{k}!} & otherwise, if w = l_{i_{1}}^{α_{1}} … l_{i_{k}}^{α_{k}}. \end{matrix} Minh :

∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w = ∏_{l∈Lyn(X )}^{↘}exp(S_{l} ⊗ P_{l}).

(produit : à gauche et concaténation à droite).

M. Deneufchâtel (LIPN - P13)  Groupe de Galois et équation de Drinfeld  18/10/2011  3 / 4

S_{w} = \{ \begin{matrix}w & if |w| = 1; \\ xS_{u} & if w = xu and w is a Lyndon word; \\ \frac{S_{l_{i_{1}}}^{α_{1}} … S_{l_{i_{k}}}^{α_{k}}}{α_{1}! … α_{k}!} & otherwise, if w = l_{i_{1}}^{α_{1}} … l_{i_{k}}^{α_{k}}. \end{matrix} Minh :

∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w = ∏_{l∈Lyn(X )}^{↘}exp(S_{l} ⊗ P_{l}).

(produit : à gauche et concaténation à droite).

M. Deneufchâtel (LIPN - P13)  Groupe de Galois et équation de Drinfeld  18/10/2011  3 / 4

S_{w} = \{ \begin{matrix}w & if |w| = 1; \\ xS_{u} & if w = xu and w is a Lyndon word; \\ \frac{S_{l_{i_{1}}}^{α_{1}} … S_{l_{i_{k}}}^{α_{k}}}{α_{1}! … α_{k}!} & otherwise, if w = l_{i_{1}}^{α_{1}} … l_{i_{k}}^{α_{k}}. \end{matrix} Minh :

∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w = ∏_{l∈Lyn(X )}^{↘}exp(S_{l} ⊗ P_{l}).

(produit : à gauche et concaténation à droite).

M. Deneufchâtel (LIPN - P13)  Groupe de Galois et équation de Drinfeld  18/10/2011  3 / 4

Objectif : Donner un cadre général dans lequel l’égalité

∑_{w∈X^{∗}} w ⊗ w = ∏_{i∈I}^{→}exp(S_{i} ⊗ P_{i})

où (P_{i})_{i∈I} et (S_{i})_{i∈I} sont deux bases en dualité.